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近似球面上两个线段之间的相对角度

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我需要一个想法！我想用3D模拟眼睛上的血管网络 . 我已经统计了与血管直径，长度等有关的分支行为 . 我现在所困的是可视化：

眼睛近似为球体 E ，其中心位于原点 C = [0, 0, 0] ，半径为 r .

What I want to achieve 是基于以下输入参数，它应该能够在 E 的表面/周长上绘制一个段：

输入：

  • 上一段结束的笛卡尔位置： P_0 = [x_0, y_0, z_0]

  • 段长： L

  • 段直径： d

  • 相对于上一段的所需角度： a （1）

输出：

  • 结果段结束的笛卡尔位置： P_1 = [x_1, y_1, z_1]

What I do now ，如下：

  • 从 P_0 生成一个半径为 L 的球体，表示我们可能使用正确长度绘制的所有点 . 该集合称为 pool .

  • 限制 pool 仅包括 r*0.95 和 r 之间距离 C 的点，因此仅包括眼周边的点 .

  • 仅选择将生成最接近所需角度 a 的相对角度（2）的点 .

The problem is ，无论我想要什么角度，实际上并不是点积所测量的 . 假设我想要一个0°的角度（即新的段跟随前一个方向相同的方向，我实际得到的是一个大约30度的角度，因为球体的曲率 . 我猜我想要的更多是2D从从球体到分支点的正交角度观察时的角度 . 请查看下面的屏幕截图以进行可视化 .

有任何想法吗？

（1）其原因是，具有最大直径的子节点通常遵循前一段的路径，而较小的子节点倾向于以不同的角度 .

（2）由 acos(dot(v1/norm(v1), v2/norm(v2))) 计算

解释问题的屏幕截图：

黄线：上一段红线：“新”段到其中一个点（不一定是正确的）蓝色x'：池（文本=弧度角）

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matlab math geometry computational-geometry

1 回答

  • 1

    我会用自己的符号重述这个问题：

    给定以C为中心且半径为r的球体表面上的两个点P和Q，找到一个新的点T，使得从PQ到QT的转弯角度为A，QT的长度为L.

    因为这些线段相对于球体很小，我们将在枢轴点Q处使用球体的局部平面近似 . （如果这不是一个好的假设，则需要在您的问题中更明确 . ）

    然后，您可以按如下方式计算T.

    // First compute an aligned orthonormal basis {U,V,W}.
//  - {U,V} should be a basis for the plane tangent at Q.
//  - W should be normal to the plane tangent at Q.
//  - U should be in the direction PQ in the plane tangent at Q
W = normalize(Q - C)
U = normalize(Q - P)
U = normalize(U - W * dotprod(W, U))
V = normalize(crossprod(W, U))

// Next compute the next point S in the plane tangent at Q.
// In a regular plane, the parametric equation of a unit circle
// centered at the origin is:
//     f(A) = (cos A, sin A) = (1,0) cos A + (0,1) sin A
// We just do the same thing, but with the {U,V} basis instead
// of the standard basis {(1,0),(0,1)}.
S = Q + L * (U cos A + V sin A)

// Finally project S onto the sphere, obtaining the segment QT.
T = C + r * normalize(S - C)
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