是||而且！运营商是否有足够的逻辑表达式？

6 回答

• 125

  是 .

  All logic gates can be made from NOR gates.

  由于NOR门可以由NOT和OR构成，因此结果如下 .

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• 10

  NAND和NOR是通用的，它们可用于在任何地方构建您想要的任何逻辑操作;其他运算符以编程语言提供，以便于编写和生成可读代码 .

  此外，所有需要在电路中硬连线的逻辑操作也是使用NAND或NOR专用IC开发的 .

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• 80

  是的，正如其他答案所指出的那样，包含 || 和 ! 的运算符集是functionally complete . 这是一个建设性的证明，展示如何使用它们来表达布尔变量 A 和 B 之间的所有16个可能的逻辑连接词：

  • True： A || !A

  • A NAND B： !A || !B

  • B implies A： !B || A

  • A implies B： !A || B

  • A OR B： A || B

  • Not B： !B

  • Not A： !A

  • A XOR B： !(!A || B) || !(A || !B)

  • A XNOR B： !(!A || !B) || !(A || B)

  • A： A

  • B： B

  • A NOR B： !(A || B)

  • A does not imply B： !(!A || B)

  • B does not imply A： !(!B || A)

  • A AND B： !(!A || !B)

  • False： !(A || !A)

  请注意，NAND和NOR本身在功能上都是完整的（可以使用上面相同的方法证明），因此如果您想验证一组运算符是否功能完备，那么足以表明您可以表达NAND或NOR用它 .

  这是显示上面列出的每个连接词的Venn diagrams的图表：

  [source]

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• 64

  你所描述的是functional completeness .

  这描述了一组足以满足"express all possible truth tables"的逻辑运算符 . 您的Java运算符集{ || ， ! }就足够了;它对应于集合{∨，¬}，它列在"Minimal functionally complete operator sets"部分下 .

  所有真值表的集合表示所有可能的4个布尔值集合，这些值可以是2个布尔值之间的操作的结果 . 因为布尔值有2个可能的值，所以有24或16个可能的真值表 .

  A B | 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15
  ----+------------------------------------------------
  T T | T  T  T  T  T  T  T  T  F  F  F  F  F  F  F  F
  T F | T  T  T  T  F  F  F  F  T  T  T  T  F  F  F  F
  F T | T  T  F  F  T  T  F  F  T  T  F  F  T  T  F  F 
  F F | T  F  T  F  T  F  T  F  T  F  T  F  T  F  T  F
  

  这是一个真值表数字表（0-15），产生它的 || 和 ! 组合以及描述 .

  Table  |  Operation(s)                    | Description
  -------+----------------------------------+-------------
    0    | A || !A                          | TRUE
    1    | A || B                           | OR
    2    | A || !B                          | B IMPLIES A
    3    | A                                | A
    4    | !A || B                          | A IMPLIES B
    5    | B                                | B
    6    | !(!A || !B) || !(A || B)         | XNOR (equals)
    7    | !(!A || !B)                      | AND
    8    | !A || !B                         | NAND
    9    | !(A || !B) || !(!A || B)         | XOR
   10    | !B                               | NOT B
   11    | !(!A || B)                       | NOT A IMPLIES B
   12    | !A                               | NOT A
   13    | !(A || !B)                       | NOT B IMPLIES A
   14    | !(A || B)                        | NOR
   15    | !(A || !A)                       | FALSE
  

  还有很多其他功能完备的集合，包括一个元素集和，它们在Java中没有相应的单个运算符 .

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• 11

  如果可以，请花点时间阅读DeMorgan's Laws .

  您将在阅读中找到答案，并参考逻辑证明 .

  但基本上，答案是肯定的 .

  EDIT ：为了明确，我的观点是，可以从AND表达式逻辑推断OR表达式，反之亦然 . 对于逻辑等价和推理，还有更多的定律，但我认为这是最合适的 .

  ---

  EDIT 2 ：这是一个通过真值表的证明，显示了下面表达式的逻辑等价 .

  德摩根定律： !(!A || !B) -> A && B

  _____________________________________________________
  | A | B | !A  | !B  | !A || !B | !(!A || !B) | A && B | 
  -------------------------------------------------------
  | 0 | 0 |  1  |  1  |    1     |      0      |   0    | 
  -------------------------------------------------------
  | 0 | 1 |  1  |  0  |    1     |      0      |   0    |
  -------------------------------------------------------
  | 1 | 0 |  0  |  1  |    1     |      0      |   0    |
  -------------------------------------------------------
  | 1 | 1 |  0  |  0  |    0     |      1      |   1    |
  _______________________________________________________
  

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• 422

  是的，根据布尔代数，任何布尔函数都可以表示为minterms的总和或maxterms的乘积，称为规范的正规形式 . 没有理由将这种逻辑应用于计算机科学中使用的相同运算符 .

  https://en.wikipedia.org/wiki/Canonical_normal_form

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