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浮点运算

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我阅读有关浮点和舍入浮点运算期间发生的错误的信息 .

我阅读了很多关于IEEE 754-单精度/双精度格式的文章 . 据我所知，有符号位，8位（或）11位指数和23位（或）52位有效位以及隐式前导位 .

我也知道，分母不是2的主要因子的实数不能完全表示为E.g 0.1 in binary is 0.0001100110011 .....

据我所知，0.1 0.1 0.1不等于0.3，因为舍入误差累积 .

0.5也可以用二进制格式表示，因为它是1/2 . 但是我不明白，鉴于上述舍入误差的累积，为什么0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 = 0.5？

floating-point ieee-754

2 回答

  • 2

    在IEEE754舍入到最近的偶数模式，您有一些不错的属性 .
    首先，对于任何有限浮点数x和n <54，（2 ^ n-1）x x == 2 ^ nx见Is 3*x+x always exact?

    然后你也有（2 ^ n 1）x == 2 ^ nx x
    （只要2 ^ n 1可以准确表示，n <53） .

    有了这些属性，你就拥有了

    • 0.1 0.1 == 2 * 0.1

    • 0.1 0.1 0.1 == 3 * 0.1

    • 0.1 0.1 0.1 0.1 == 4 * 0.1

    • 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 == 5 * 0.1

    这还不够，因为在这个阶段，0.1并不完全是1/10，所以没有证明5 * 0.1 == 0.5 .
    例如3 * 0.1！= 0.3，并且5 * 0.3！= 0.15 .

    所以在这里，它只是运气，圆整错误确实消灭而不是累积 .
    （n * 0.1 == n / 10.0）对于整数n从1到100的100中的65（对于此区间中的2的7次幂，总是如此）是真的 .

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  • 1

    双精度中的0.1是二进制的0.0001100110011001100110011001100110011001100110011001101 . 让我们逐步完成二进制文件，看看发生了什么：

    0.0001100110011001100110011001100110011001100110011001101
+
  0.0001100110011001100110011001100110011001100110011001101
-----------------------------------------------------------
  0.001100110011001100110011001100110011001100110011001101   (52 sig bits -- OK)
+
  0.0001100110011001100110011001100110011001100110011001101
-----------------------------------------------------------
  0.0100110011001100110011001100110011001100110011001100111  (54 sig bits -- must round to 53)
  0.0100110011001100110011001100110011001100110011001101     (rounded up)
+
  0.0001100110011001100110011001100110011001100110011001101
-----------------------------------------------------------
  0.0110011001100110011001100110011001100110011001100110101  (54 sig bits -- must round to 53)
  0.01100110011001100110011001100110011001100110011001101    (rounded down)
+
  0.0001100110011001100110011001100110011001100110011001101
-----------------------------------------------------------
  0.1000000000000000000000000000000000000000000000000000001 (55 sig bits -- must round to 53)
  0.1                                                       (rounded down)

    因此，由于四舍五入的累积，0.1增加五次变为0.5 .

    （我从binary converter，binary calculator和floating-point converter获得了这些值 . ）

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