贝叶斯与OLS-Java 学习之路

我在网上发现了这个问题 . 有人可以详细解释一下，为什么使用OLS更好？是不是因为样本数量不足？另外，为什么不使用所有1000个样本来估计先前的分布呢？

我们有1000个随机抽样的数据点 . 目标是尝试使用k个回归变量中的一个响应变量构建回归模型 . 哪个更好？ 1.（贝叶斯回归）使用前500个样本来估计假设的先验分布的参数，然后使用最后500个样本来更新后验分布之前的后验估计，以用于最终回归模型 . 2.（OLS回归）使用包含所有1000个回归量变量的简单普通最小二乘回归模型

1 回答

“更好”始终是一个意见问题，它在很大程度上取决于背景 .

Advantages to a frequentist OLS approach ：更广泛，更快速，更容易被更广泛的受众访问（因此更难以解释） . 我的一位聪明的教授常说"You don't need to build an atom smasher when a flyswatter will do the trick."

Advantages to an equivalent Bayesian approach ：进一步模型开发更灵活，可以直接模拟派生/计算数量的后验（还有更多，但这些是我通过给定分析去贝叶斯的动机） . 注意“等价”这个词 - 你可以在贝叶斯框架中做一些你不能在频率论方法中做的事情 .

嘿，这是R的探索，首先模拟数据，然后使用典型的OLS方法 .

N <- 1000
x <- 1:N
epsilon <- rnorm(N, 0, 1)
y <- x + epsilon

summary(lm(y ~ x))
## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -2.9053 -0.6723  0.0116  0.6937  3.7880 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error  t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 0.0573955  0.0641910    0.894    0.371    
## x           0.9999997  0.0001111 9000.996   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
## 
## Residual standard error: 1.014 on 998 degrees of freedom
## Multiple R-squared:      1,  Adjusted R-squared:      1 
## F-statistic: 8.102e+07 on 1 and 998 DF,  p-value: < 2.2e-16

...这里是一个等价的贝叶斯回归，在回归参数和所有1000个数据点上使用非信息先验 .

library(R2jags)
cat('model {
  for (i in 1:N){
    y[i] ~ dnorm(y.hat[i], tau)
    y.hat[i] <- a + b * x[i]
  }
  a ~ dnorm(0, .0001)
  b ~ dnorm(0, .0001)
  tau <- pow(sigma, -2)
  sigma ~ dunif(0, 100)
}', file="test.jags")

test.data <- list(x=x,y=y,N=1000)
test.jags.out <- jags(model.file="test.jags", data=test.data, 
                  parameters.to.save=c("a","b","tau","sigma"), n.chains=3, n.iter=10000)
test.jags.out$BUGSoutput$mean$a
## [1] 0.05842661
test.jags.out$BUGSoutput$sd$a
## [1] 0.06606705
test.jags.out$BUGSoutput$mean$b
## [1] 0.9999976
test.jags.out$BUGSoutput$sd$b
## [1] 0.0001122533

请注意，参数估计值和标准误差/标准偏差基本相同！

现在这是另一个贝叶斯回归，使用前500个数据点来估计先验，然后使用前500个来估计后验 .

test.data <- list(x=x[1:500],y=y[1:500],N=500)
test.jags.out <- jags(model.file="test.jags", data=test.data, 
                  parameters.to.save=c("a","b","tau","sigma"), n.chains=3, n.iter=10000)

cat('model {
  for (i in 1:N){
    y[i] ~ dnorm(y.hat[i], tau)
    y.hat[i] <- a + b * x[i]
  }
  a ~ dnorm(a_mn, a_prec)
  b ~ dnorm(b_mn, b_prec)
  a_prec <- pow(a_sd, -2)
  b_prec <- pow(b_sd, -2)
  tau <- pow(sigma, -2)
  sigma ~ dunif(0, 100)
}', file="test.jags1")

test.data1 <- list(x=x[501:1000],y=y[501:1000],N=500,
                   a_mn=test.jags.out$BUGSoutput$mean$a,a_sd=test.jags.out$BUGSoutput$sd$a,
                   b_mn=test.jags.out$BUGSoutput$mean$b,b_sd=test.jags.out$BUGSoutput$sd$b)
test.jags.out1 <- jags(model.file="test.jags1", data=test.data1, 
                  parameters.to.save=c("a","b","tau","sigma"), n.chains=3, n.iter=10000)

test.jags.out1$BUGSoutput$mean$a
## [1] 0.01491162
test.jags.out1$BUGSoutput$sd$a
## [1] 0.08513474
test.jags.out1$BUGSoutput$mean$b
## [1] 1.000054
test.jags.out1$BUGSoutput$sd$b
## [1] 0.0001201778

有趣的是，推论类似于OLS结果，但差不多 . 这让我怀疑用于训练先前的500个数据点在分析中没有像过去500那样多的重量，而之前的数据点实际上已经被淘汰了，尽管我不确定这一点 .

无论如何，我想不出有什么理由不使用所有1000个数据点（和非信息先验），特别是因为我怀疑500 500使用前500和后500不同 .

也许，所有这一切的答案是： I trust the OLS and 1000-point Bayesian results more than the 500+500, and OLS is simpler.

回复于 2024-04-19T13:34:42+08:00

贝叶斯与OLS

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