目标
我想解决一个带有9个未知数的9个非线性方程组，并用Matlab求解 .
所有9个未知数都作为多项式的比率耦合（参见myfun lower）
Fsolve
x02=[5000,5000,5000,0.4,0.4,0.4,0.4,0.4,0.4];
ctrl2=[9894+1i*0.118,9894+1i*0.118,9894+1i*0.118,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5];
f2 = @(x) myfun(x,Peff);
options2 = optimoptions('fsolve','Algorithm','trust-region-dogleg','Display','iter-detailed'...
,'MaxFunEvals', 100000, 'MaxIter', 100000,'TolX',1e-12,'TolFun',1e-12,...
'Jacobian','on');
[x2,F2,exitflag2,output2] = fsolve(f2,x02,options2);
函数myfun，返回方程组，以输入fsolve对应的雅可比行列式
function [F,J] = myfun( x, p)
％方程组
F(1) = -(x(1) - x(1)*x(8)*x(9))/(x(4)*x(5) + x(6)*x(7) + x(8)*x(9) + x(4)*x(8)*x(7) + x(6)*x(5)*x(9) - 1) - p(1,1);
F(2) = -(x(2)*x(4) + x(2)*x(6)*x(9))/(x(4)*x(5) + x(6)*x(7) + x(8)*x(9) + x(4)*x(8)*x(7) + x(6)*x(5)*x(9) - 1) - p(1,2);
F(3) = -(x(3)*x(6) + x(3)*x(4)*x(8))/(x(4)*x(5) + x(6)*x(7) + x(8)*x(9) + x(4)*x(8)*x(7) + x(6)*x(5)*x(9) - 1) - p(1,3);
F(4) = -(x(1)*x(5) + x(1)*x(8)*x(7))/(x(4)*x(5) + x(6)*x(7) + x(8)*x(9) + x(4)*x(8)*x(7) + x(6)*x(5)*x(9) - 1) - p(2,1);
F(5) = -(x(2) - x(2)*x(6)*x(7))/(x(4)*x(5) + x(6)*x(7) + x(8)*x(9) + x(4)*x(8)*x(7) + x(6)*x(5)*x(9) - 1) - p(2,2);
F(6) = -(x(3)*x(8) + x(3)*x(6)*x(5))/(x(4)*x(5) + x(6)*x(7) + x(8)*x(9) + x(4)*x(8)*x(7) + x(6)*x(5)*x(9) - 1) - p(2,3);
F(7) = -(x(1)*x(7) + x(1)*x(5)*x(9))/(x(4)*x(5) + x(6)*x(7) + x(8)*x(9) + x(4)*x(8)*x(7) + x(6)*x(5)*x(9) - 1) - p(3,1);
F(8) = -(x(2)*x(9) + x(2)*x(4)*x(7))/(x(4)*x(5) + x(6)*x(7) + x(8)*x(9) + x(4)*x(8)*x(7) + x(6)*x(5)*x(9) - 1) - p(3,2);
F(9) = -(x(3) - x(3)*x(4)*x(5))/(x(4)*x(5) + x(6)*x(7) + x(8)*x(9) + x(4)*x(8)*x(7) + x(6)*x(5)*x(9) - 1) - p(3,3);
%%雅可比
I compute the Jacobian myself but will spare you the detail, as it is considerably long
end
结果
Norm of First-order Trust-region
Iteration Func-count f(x) step optimality radius
0 1 2.45042e+19 1.39e+14 1
1 2 2.45042e+19 1 1.39e+14 1
2 3 2.45031e+19 0.25 4.77e+15 0.25
3 4 2.45031e+19 0.625 4.77e+15 0.625
4 5 2.45031e+19 0.15625 4.77e+15 0.156
5 6 2.44992e+19 0.0390625 6.8e+16 0.0391
6 7 2.44992e+19 0.0976562 6.8e+16 0.0977
7 8 2.44992e+19 0.0244141 6.8e+16 0.0244
8 9 2.4495e+19 0.00610352 2.03e+17 0.0061
9 10 2.4495e+19 0.0152588 2.03e+17 0.0153
10 11 2.4486e+19 0.0038147 7.67e+17 0.00381
11 12 2.4486e+19 0.00953674 7.67e+17 0.00954
12 13 2.44592e+19 0.00238419 4.62e+18 0.00238
13 14 2.44592e+19 0.00596046 4.62e+18 0.00596
14 15 2.40048e+19 0.00149012 5.62e+20 0.00149
15 16 2.40048e+19 0.00372529 5.62e+20 0.00373
16 17 2.40048e+19 0.000931323 5.62e+20 0.000931
17 18 2.40048e+19 0.000232831 5.62e+20 0.000233
18 19 2.36832e+19 5.82077e-05 1.52e+21 5.82e-05
19 20 2.36832e+19 0.000145519 1.52e+21 0.000146
20 21 2.3131e+19 3.63798e-05 4.24e+21 3.64e-05
21 22 2.3131e+19 9.09495e-05 4.24e+21 9.09e-05
22 23 2.21355e+19 2.27374e-05 1.26e+22 2.27e-05
23 24 2.21355e+19 5.68434e-05 1.26e+22 5.68e-05
24 25 2.01772e+19 1.42109e-05 4.2e+22 1.42e-05
25 26 2.01772e+19 3.55271e-05 4.2e+22 3.55e-05
26 27 1.5592e+19 8.88178e-06 1.76e+23 8.88e-06
27 28 1.5592e+19 2.22045e-05 1.76e+23 2.22e-05
28 29 1.17854e+18 5.55112e-06 7.24e+23 5.55e-06
29 30 3.43734e+16 1.38778e-05 1.9e+23 1.39e-05
30 31 1.23843e+15 3.46945e-05 4.04e+22 3.47e-05
31 32 1.23843e+15 8.67362e-05 4.04e+22 8.67e-05
32 33 7.49991e+13 2.1684e-05 4.25e+21 2.17e-05
33 34 7.49991e+13 5.42101e-05 4.25e+21 5.42e-05
34 35 3.19073e+13 1.35525e-05 3.46e+21 1.36e-05
35 36 3.19073e+13 3.38813e-05 3.46e+21 3.39e-05
36 37 3.19073e+13 8.47033e-06 3.46e+21 8.47e-06
37 38 3.19073e+13 2.11758e-06 3.46e+21 2.12e-06
38 39 3.19073e+13 5.29396e-07 3.46e+21 5.29e-07
39 40 3.19073e+13 1.32349e-07 3.46e+21 1.32e-07
40 41 3.19073e+13 3.30872e-08 3.46e+21 3.31e-08
41 42 3.19073e+13 8.27181e-09 3.46e+21 8.27e-09
42 43 3.19073e+13 2.06795e-09 3.46e+21 2.07e-09
43 44 3.19073e+13 5.16988e-10 3.46e+21 5.17e-10
44 45 3.16764e+13 1.29247e-10 3e+21 1.29e-10
45 46 3.16764e+13 1.29247e-10 3e+21 1.29e-10
46 47 3.16764e+13 3.23117e-11 3e+21 3.23e-11
47 48 3.16764e+13 8.07794e-12 3e+21 8.08e-12
48 49 3.16764e+13 2.01948e-12 3e+21 2.02e-12
49 50 3.16764e+13 5.04871e-13 3e+21 5.05e-13
50 51 3.16764e+13 1.26218e-13 3e+21 1.26e-13
51 52 3.16764e+13 3.15544e-14 3e+21 3.16e-14
52 53 3.16764e+13 7.88861e-15 3e+21 7.89e-15
53 54 3.16764e+13 1.97215e-15 3e+21 1.97e-15
54 55 3.16764e+13 4.93038e-16 3e+21 4.93e-16
fsolve stopped because the relative norm of the current step, 1.097484e-16, is less than
max(options.TolX^2,eps) = 2.220446e-16. However, the sum of squared function values,
r = 3.167644e+13, exceeds sqrt(options.TolFun) = 1.000000e-06.
Optimization Metric Options
relative norm(step) = 1.10e-16 max(TolX^2,eps) = 2e-16 (selected)
r = 3.17e+13 sqrt(TolFun) = 1.0e-06 (selected)
exitflag2 =
-2
output2 =
iterations: 54
funcCount: 55
algorithm: 'trust-region-dogleg'
firstorderopt: 3.000805388686251e+21
message: 'No solution found.…'
问题
初步猜测
x02 =
1.0e+03 *
Columns 1 through 5
5.000000000000000 5.000000000000000 5.000000000000000 0.000400000000000 0.000400000000000
Columns 6 through 9
0.000400000000000 0.000400000000000 0.000400000000000 0.000400000000000
fsolve给出的解决方案
x2 =
1.0e+03 *
Columns 1 through 2
5.000098340971978 - 0.000000066639557i 5.000100855522207 + 0.000000027141142i
Columns 3 through 4
5.000100887684736 + 0.000000021333305i 0.000500827051867 + 0.000000033172152i
Columns 5 through 6
0.000498312570833 - 0.000000060511167i 0.000500859436647 + 0.000000027409553i
Columns 7 through 8
0.000500831092720 + 0.000000033506374i 0.000500831171443 + 0.000000033543065i
Column 9
0.000498337065684 - 0.000000066909835i
解决方案应该是什么（控制）
ctrl2 =
1.0e+03 *
Columns 1 through 2
9.894000000000000 + 0.355900000000000i 9.894000000000000 + 0.355900000000000i
Columns 3 through 4
9.894000000000000 + 0.355900000000000i 0.000499999000000 + 0.000000000000000i
Columns 5 through 6
0.000499999000000 + 0.000000000000000i 0.000499999000000 + 0.000000000000000i
Columns 7 through 8
0.000499999000000 + 0.000000000000000i 0.000499999000000 + 0.000000000000000i
Column 9
0.000499999000000 + 0.000000000000000i
评论
正如你所看到的那样，在没有离初始猜测很远的情况下，解决崩溃的速度相当快 .
我尝试更改TolX TolFun算法但仍然崩溃（根据Matlab网站的建议，在算法失败时该怎么办）
对于fsolve和lsqnonlin中的其他算法，算法崩溃类似（levnberg，trust-region-dogleg，trust-region-reflective）
问题：
你能帮我找出我需要做些什么才能构建一个能够收敛到控制值的算法吗？
谢谢
1 回答
您遇到的问题实际上是解算器没有问题 . 更有可能的是，你只需要在问题中使用许多局部最小化器，并且优化算法就会陷入困境 . 你真的没什么可做的......几乎所有你手上的优化求解器都是基于梯度下降的原理（或多或少），所以它们会引导你去一个最小化器，但不一定是全球性的 . 有些人做的是生成一大组随机初始条件，并为每个初始条件运行优化求解器 . 这并不能保证您获得的解决方案之一是全局最小化器，但至少您应该能够比单个初始猜测做得更好 .
如果你真的需要找到全局最小化器，那么你需要使用某种类型的“基于Groebner”的解决方法 . 这些类型的求解器基于“消除理论”，并将产生包含所有全局最小化器的单变量多项式 . 然而，这些解算器通常是符号的，极其耗费内存，并且基本上不能保证在有限的时间内完成 . 我怀疑（我真的不知道）这些问题是NP难的 . 根据我的经验，像你展示的那个看似很小的问题可能需要很长时间才能解决（如果有的话） .