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计算变换椭圆的AABB

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我正在寻找计算应用了转换矩阵的2D椭圆的轴对齐边界框（AABB）（旋转，缩放，平移等）

与此解决方案类似的东西：Calculating an AABB for a transformed sphere

到目前为止，它似乎不适用于2D省略号 .

这就是我得到的（伪代码）：

Matrix M; // Transformation matrix (already existing)
Matrix C = new Matrix( // Conic matrix
    radiusX, 0,         0,
    0,       radiusY,   0,
    0,       0,         -1
);

Matrix MT = M.transpose();
Matrix CI = C.inverse();

Matrix R = M*CI*MT;

int minX = (R13 + sqrt(R13^2 - (R11 * R33))) / R33;
int minY = (R23 + sqrt(R23^2 - (R22 * R33))) / R33;

// maxX etc...
// Build AABB Rectangle out of min & max...

Simple demo of the current behavior

radiusX = 2    
radiusY = 2                              // To keep it simple, M is identity
                                         // (no transformation on the ellipse)
M = /1 0 0\                              // /M11 M21 M31\ 
    |0 1 0|                              // |M12 M22 M32| Transform matrix format
    \0 0 1/                              // \0   0   1  /

C = /2 0  0\                             // C as conic
    |0 2  0|
    \0 0 -1/

CI =/0.5 0   0\                          // CI as dual conic
    |0   0.5 0|
    \0   0  -1/

R = /1 0 0\ * /0.5 0   0\ * /1 0 0\      // R = M*CI*MT
    |0 1 0|   |0   0.5 0|   |0 1 0|
    \0 0 1/   \0   0  -1/   \0 0 1/

  = /0.5 0   0\                          // /R11 R12 R13\
    |0   0.5 0|                          // |R12 R22 R23| (R is symmetric)
    \0   0  -1/                          // \R13 R23 R33/

minX = (0 + sqrt(0^2 - (0.5 * -1))) / -1

     = -0.7071                           // Should be -2

                                         // Also, using R = MIT*C*MI
                                         // leads to -1.4142

解决方案（使用双圆锥矩阵）

Matrix M;
Matrix C = new Matrix(
    1/radiusX^2, 0,           0,
    0,           1/radiusY^2, 0,
    0,           0,           -1
);
Matrix MT = M.transpose();
Matrix CI = C.inverse();
Matrix R = M*CI*MT;

int minX = (R13 + sqrt(R13^2 - (R11 * R33))) / R33;
int minY = (R23 + sqrt(R23^2 - (R22 * R33))) / R33;

最终解决方案（不直接使用圆锥矩阵）

这是一个简化版本 .

Matrix M;

int xOffset = sqrt((M11^2 * radiusX^2) + (M21^2 * radiusY^2));
int yOffset = sqrt((M12^2 * radiusX^2) + (M22^2 * radiusY^2));

int centerX = (M11 * ellipse.x + M21 * ellipse.y) + M31; // Transform center of 
int centerY = (M12 * ellipse.x + M22 * ellipse.y) + M32; // ellipse using M
                                                         // Most probably, ellipse.x = 0 for you, but my implementation has an actual (x,y) AND a translation
int xMin = centerX - xOffset;
int xMax = centerX + xOffset;

int yMin = centerY - yOffset;
int yMax = centerY + yOffset;
matrix geometry linear-algebra bounding-box aabb

1 回答

  • 1

    来自双锥形

    所以你说 M 是一个转换矩阵 . 但它改变了什么，是点还是线？我假设积分 . 如何将点表示为行向量，使得点位于左侧，矩阵位于右侧，或者作为列向量，以便矩阵位于左侧，而右侧的点位于乘法的位置？我假设列向量 . 因此，对于某些点 p ，转换将是 p' = M*p .

    接下来是 C . 你写它的方式，这是一个椭圆，但不是你正在使用的半径 . 如果满足 (x/radiusX)^2 + (y/radiusY)^2 = 1 ，则椭圆上的点位于椭圆上，因此主对角线上的值必须为 (1/radiusX^2, 1/radiusY^2, -1) . 在我的回答的前一次修改中，我一再错过这个错误 .

    接下来，您将结合这些内容假设 CP 是原始圆锥曲线，即圆锥曲线作为一组点 . 然后你通过 MT.inverse()*CP*M.inverse() 获得转换后的版本 . 原因是因为您将 M.inverse() 应用于每个点，然后检查它是否位于原始的圆锥曲线上 . 但是你没有使用 M.inverse() ，你正在使用 M . 这表明您尝试转换双圆锥曲线 . 如果 M 转换点，则 MT.inverse() 转换线，如果 CD 是双锥形，则 M*CD*MT 是正确的转换 .

    如果 R 是双锥形，那么你的公式是正确的 . 因此，您的代码可能存在的主要问题是您忘记在矩阵中使用反半径 C .

    来自原始圆锥曲线

    当我第一次阅读你的帖子时，我假设 R 会描述一组点，即如果 (x,y,1)*R*(x,y,1).transpose()=0 ，点 (x,y) 就位于该椭圆上 . 基于此，我确实为AABB提出了不使用双锥体的公式 . 我还是留在这里供参考 . 请记住，本段中的 R 与您的代码示例中使用的不同 .

    对于我的方法，考虑 R*(1,0,0) （这只是 R 的第一列）是一些向量 (a,b,c) ，您可以将其解释为行 ax+by+c=0 的定义 . Intersect that line with the conic并且您获得切线水平的点，这是 y 方向的极值 . 对 R*(0,1,0) （即seond列）执行相同操作以查找 x 方向的极值 .

    这里的关键思想是 R*p 计算某点 p 的极线，所以我们在 x resp中构建无穷远点的极线 . y 方向 . 切线通过 p 触及圆锥的那些点将与圆锥相交，在这种情况下，圆锥将是水平的 . 垂直切线，因为平行线在无穷远处相交 .

    如果我象征性地进行上述计算，我得到以下公式：

    xmin, xmax = (R13*R22^2 - R12*R22*R23 ± sqrt(R13^2*R22^4 - 2*R12*R13*R22^3*R23 + R11*R22^3*R23^2 + (R12^2*R22^3 - R11*R22^4)*R33))/(R12^2*R22 - R11*R22^2)
ymin, ymax = (R11*R12*R13 - R11^2*R23 ± sqrt(R11^3*R13^2*R22 - 2*R11^3*R12*R13*R23 + R11^4*R23^2 + (R11^3*R12^2 - R11^4*R22)*R33))/(R11^2*R22 - R11*R12^2)

    这些表达式当然可以简化，但它应该让你开始 . 如果您将此重新编写为更简单，更易于阅读或其他任何内容，请随意编辑此帖子 .

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