我有一个线性方程组，它构成了我需要解决的 NxM 矩阵（即非方形） - 或者至少试图解决以表明系统没有解决方案 . （更可能的是，没有解决方案）
据我所知，如果我的矩阵不是正方形（过度或不足），那么就找不到 exact solution - 我是否正确地想到这一点？有没有办法将我的矩阵转换为方形矩阵以计算确定性，应用高斯消元法，克莱默规则等？
值得一提的是，我的未知数的系数可能为零，因此在某些极少数情况下，可能会有零列或零行 .
矩阵是否为正方形不是决定解空间的因素 . 它是矩阵的等级与确定该列的列数相比（参见the rank-nullity theorem） . 通常，对于线性方程组，您可以有零个，一个或无限多个解，这取决于它的秩和无效关系 .
但是，要回答您的问题，您可以使用高斯消元法找到矩阵的秩，如果这表明存在解，则找到特定解x0和矩阵的零空间Null（A） . 然后，您可以将所有解决方案描述为x = x0 xn，其中xn表示Null（A）的任何元素 . 例如，如果矩阵是满秩，则其零空间将为空，并且线性系统将具有至多一个解 . 如果它的等级也等于行数，那么你有一个唯一的解决方案 . 如果零空间的维度为1，那么您的解决方案将是一条穿过x0的线，该线上的任何点都满足线性方程 .
好的，首先：非方形方程组 can 有一个精确的解决方案
[ 1 0 0 ][x] = [1] [ 0 0 1 ][y] [1] [z]
显然有一个解决方案（实际上，它有一个一维解决方案系列：x = z = 1） . 即使系统超定而不是欠定，它仍然可以有一个解决方案：
[ 1 0 ][x] = [1] [ 0 1 ][y] [1] [ 1 1 ] [2]
（X = Y = 1） . 您可能希望首先查看最小二乘解决方法，如果存在，则找到确切的解决方案，如果不存在，则找到近似解决方案（在某种意义上） .
最小二乘推荐是非常好的 .
我将补充一点，您可以尝试使用奇异值分解（SVD），它将为您提供最佳答案，并免费提供有关零空间的信息 .
取 Ax = b ，A有m列和n行 . 我们不能保证只有一个解决方案，在很多情况下是因为我们有 more equations than unknowns （m更大的n） . 这可能是因为我们实际需要的重复测量，因为我们对噪声的影响持谨慎态度 .
Ax = b
如果我们发现我们找不到实际意味着的解决方案，那就是 no way to find b travelling the column space spanned by A . （因为x只采用了列的组合） .
然而，我们可以要求A所跨越的空间中的点最接近b . 我们怎么能找到这样的观点呢？ Walking on a plane the closest one can get to a point outside it ，是走到你正下方 . 从几何上讲，这是我们的视线垂直于平面的时候 .
现在，我们可以有一个数学公式 . 垂直向量 reminds us of orthogonal projections . 这就是我们要做的 . 最简单的情况告诉我们做 a.T b . 但我们可以采取整个矩阵 A.T b .
a.T b
A.T b
对于我们的等式，让我们将转换应用于 both sides ： A.T Ax = A.T b . 最后一步是通过 inverse of A.T A 求解x：
A.T Ax = A.T b
x = (A.T A)^-1 * A.T b
4 回答
矩阵是否为正方形不是决定解空间的因素 . 它是矩阵的等级与确定该列的列数相比（参见the rank-nullity theorem） . 通常，对于线性方程组，您可以有零个，一个或无限多个解，这取决于它的秩和无效关系 .
但是，要回答您的问题，您可以使用高斯消元法找到矩阵的秩，如果这表明存在解，则找到特定解x0和矩阵的零空间Null（A） . 然后，您可以将所有解决方案描述为x = x0 xn，其中xn表示Null（A）的任何元素 . 例如，如果矩阵是满秩，则其零空间将为空，并且线性系统将具有至多一个解 . 如果它的等级也等于行数，那么你有一个唯一的解决方案 . 如果零空间的维度为1，那么您的解决方案将是一条穿过x0的线，该线上的任何点都满足线性方程 .
好的，首先：非方形方程组 can 有一个精确的解决方案
显然有一个解决方案（实际上，它有一个一维解决方案系列：x = z = 1） . 即使系统超定而不是欠定，它仍然可以有一个解决方案：
（X = Y = 1） . 您可能希望首先查看最小二乘解决方法，如果存在，则找到确切的解决方案，如果不存在，则找到近似解决方案（在某种意义上） .
最小二乘推荐是非常好的 .
我将补充一点，您可以尝试使用奇异值分解（SVD），它将为您提供最佳答案，并免费提供有关零空间的信息 .
取
Ax = b，A有m列和n行 . 我们不能保证只有一个解决方案，在很多情况下是因为我们有 more equations than unknowns （m更大的n） . 这可能是因为我们实际需要的重复测量，因为我们对噪声的影响持谨慎态度 .如果我们发现我们找不到实际意味着的解决方案，那就是 no way to find b travelling the column space spanned by A . （因为x只采用了列的组合） .
然而，我们可以要求A所跨越的空间中的点最接近b . 我们怎么能找到这样的观点呢？ Walking on a plane the closest one can get to a point outside it ，是走到你正下方 . 从几何上讲，这是我们的视线垂直于平面的时候 .
现在，我们可以有一个数学公式 . 垂直向量 reminds us of orthogonal projections . 这就是我们要做的 . 最简单的情况告诉我们做
a.T b. 但我们可以采取整个矩阵A.T b.对于我们的等式，让我们将转换应用于 both sides ：
A.T Ax = A.T b. 最后一步是通过 inverse of A.T A 求解x：x = (A.T A)^-1 * A.T b