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如何证明monad是一个仿函数和一个应用函子?

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Monad在理论上被认为是仿函数的一个子集,特别是应用仿函数,尽管它没有在Haskell的类型系统中指出 .

知道这一点,给定一个monad并基于 returnbind ,如何:

  • derive fmap

  • derive <*>

2 回答

  • 26

    那么, fmap 只是 (a -> b) -> f a -> f b ,即我们想用变符号来改变monadic动作's result with a pure function. That' s易于编写:

    fmap f m = do
      a <- m
      return (f a)
    

    或者,写成“原始”:

    fmap f m = m >>= \a -> return (f a)
    

    这可以作为Control.Monad.liftM获得 .

    pure :: a -> f a 当然是 return . (<*>) :: f (a -> b) -> f a -> f b 有点棘手 . 我们有一个返回函数的动作,以及一个返回其参数的动作,我们希望一个动作返回它的结果 . 在再次表示法:

    mf <*> mx = do
      f <- mf
      x <- mx
      return (f x)
    

    或者,desugared:

    mf <*> mx =
      mf >>= \f ->
      mx >>= \x ->
      return (f x)
    

    田田!这是Control.Monad.ap,因此我们可以为任何monad M 提供 FunctorApplicative 的完整实例,如下所示:

    instance Functor M where
      fmap = liftM
    
    instance Applicative M where
      pure = return
      (<*>) = ap
    

    理想情况下,我们可以直接在 Monad 中指定这些实现,以减轻为每个monad定义单独实例的负担,例如使用this proposal . 如果发生这种情况,那么使 Applicative 成为 Monad 的超类将没有真正的障碍,因为它会破坏任何现有代码 . 另一方面,这意味着为给定 Monad 定义 FunctorApplicative 实例所涉及的样板文件是最小的,因此很容易成为"good citizen"(并且应该为任何monad定义此类实例) .

  • 10

    fmap = liftM(<*>) = ap . 以下是liftMap源代码的链接 . 我认为你知道如何desugar做符号 .

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