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3D Perlin噪声分析导数

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我目前正在使用Shader Model 4（DirectX 10 HLSL）实现3D Perlin噪声凹凸贴图 . 生成噪声本身并不是一个大问题（有大量的教程和代码），但我没有找到3D Perlin噪声的分析衍生物 .

考虑衍生品的唯一网站是Ińigo Quilez's site和相关的GameDev.net discussion . 问题是在第一个链接中噪声是基于值的，而不是基于梯度的（这是我的要求），在第二个链接中，只有2D梯度噪声导数 .

请注意，我不是在寻找数值导数，因为那些需要生成4个相邻的噪声样本，而且开销太多了 .

有人计算过这些衍生物吗？是否有使用它们的参考实现？

3d perlin-noise derivative

1 回答

  • 19

    我今天也无法在网上找到解决方案，所以我试图推导它 .

    首先定义3D Perlin噪声的符号 .

    表示法

    假设3D Perlin噪声由三线性插值计算得出

    n = Lerp(
        Lerp(
            Lerp(dot000, dot100, u),
            Lerp(dot010, dot110, u),
            v), 
        Lerp(
            Lerp(dot001, dot101, u), 
            Lerp(dot011, dot111, u),
            v),
        w)

    其中 u ， v ， w 是分数坐标的五次多项式的插值因子（即改进的Perlin噪声）：

    x0 = frac(x)
y0 = frac(y)
z0 = frac(z)
x1 = x0 - 1
y1 = y0 - 1
z1 = z0 - 1

u = x0 * x0 * x0 * (x0 * (6 * x0 - 15) + 10)
v = y0 * y0 * y0 * (y0 * (6 * y0 - 15) + 10)
w = z0 * z0 * z0 * (z0 * (6 * z0 - 15) + 10)

    和 dot___ 是格点处的梯度向量 (gx___, gy___, gz___) 的点积和分数坐标：

    dot000 = gx000 * x0 + gy000 * y0 + gz000 * z0
dot100 = gx100 * x1 + gy100 * y0 + gz100 * z0
dot010 = gx010 * x0 + gy010 * y1 + gz010 * z0
dot110 = gx110 * x1 + gy110 * y1 + gz110 * z0
dot001 = gx001 * x0 + gy001 * y0 + gz001 * z1
dot101 = gx101 * x1 + gy101 * y0 + gz101 * z1
dot011 = gx011 * x0 + gy011 * y1 + gz011 * z1
dot111 = gx111 * x1 + gy111 * y1 + gz111 * z1

    计算衍生品

    首先，计算 u ， v 和 w 的衍生物

    u' = 30 * x0 * x0 * (x0 - 1) * (x0 - 1)
v' = 30 * y0 * y0 * (y0 - 1) * (y0 - 1)
w' = 30 * z0 * z0 * (z0 - 1) * (z0 - 1)

    通过 Lerp(a, b, t) = a + (b - a) * t 扩展 n ，

    n = dot000 
  + u(dot100 - dot000)
  + v(dot010 - dot000)
  + w(dot001 - dot000)
  + uv(dot110 - dot010 - dot100 + dot000)
  + uw(dot101 - dot001 - dot100 + dot000)
  + vw(dot011 - dot001 - dot010 + dot000)
  + uvw(dot111 - dot011 - dot101 + dot001 - dot110 + dot010 + dot100 - dot000)

    然后取 n 的偏导数，

    nx = gx000
   + u'  (dot100 - dot000)
   + u   (gx100 - gx000)
   + v   (gx010 - gx000)
   + w   (gx001 - gx000)
   + u'v (dot110 - dot010 - dot100 + dot000)
   + uv  (gx110 - gx010 - gx100 + gx000)
   + u'w (dot101 - dot001 - dot100 + dot000)
   + uw  (gx101 - gx001 - gx100 - gx000)
   + vw  (gx011 - gx001 - gx010 + gx000)
   + u'vw(dot111 - dot011 - dot101 + dot001 - dot110 + dot010 + dot100 - dot000)
   + uvw (gx111 - gx011 - gx101 + gx001 - gx110 + gx010 + gx100 - gx000)

    ，

    ny = gy000
   + u   (gy100 - gy000)
   + v'  (dot010 - dot000)
   + v   (gy010 - gy000)
   + w   (gy001 - gy000)
   + uv' (dot110 - dot010 - dot100 + dot000)
   + uv  (gy110 - gy010 - gy100 + gy000)
   + uw  (gy101 - gy001 - gy100 + gy000)
   + v'w (dot011 - dot001 - dot010 + dot000)
   + vw  (gy011 - gy001 - gy010 + gy000)
   + uv'w(dot111 - dot011 - dot101 + dot001 - dot110 + dot010 + dot100 - dot000)
   + uvw (gy111 - gy011 - gy101 + gy001 - gy110 + gy010 + gy100 - gy000)

    ，

    nz = gz000
   + u   (gz100 - gz000)
   + v   (gz010 - gz000)
   + w'  (dot001 - dot000)
   + w   (gz001 - gz000)
   + uv  (gz110 - gz010 - gz100 + gz000)
   + uw' (dot101 - dot001 - dot100 + dot000)
   + uw  (gz101 - gz001 - gz100 + gz000)
   + vw' (dot011 - dot001 - dot010 + dot000)
   + vw  (gz011 - gz001 - gz010 + gz000)
   + uvw'(dot111 - dot011 - dot101 + dot001 - dot110 + dot010 + dot100 - dot000)
   + uvw (gz111 - gz011 - gz101 + gz001 - gz110 + gz010 + gz100 - gz000)

    那么 (nx, ny, nz) 是噪声函数的梯度向量（偏导数） .

    优化

    如果编译器无法处理它，可以将一些常见的子表达式考虑在内 . 例如：

    uv = u * v
vw = v * w
uw = u * w
uvw = uv * w

    扩展的 n 中的系数被重复使用多次 . 它们可以通过以下方式计算

    k0 = dot100 - dot000
k1 = dot010 - dot000
k2 = dot001 - dot000
k3 = dot110 - dot010 - k0
k4 = dot101 - dot001 - k0
k5 = dot011 - dot001 - k1
k6 = (dot111 - dot011) - (dot101 - dot001) - k3

    衍生物也具有相似的系数，

    gxk0 = gx100 - gx000
gxk1 = gx010 - gx000
...

    n 的计算也可以使用扩展形式 k0 ，... k6 .

    最后的话

    已经针对中心差分方法验证了该解决方案 .

    虽然这个解决方案看起来很笨拙，但我的实验（仅限CPU，SSE）表明，通过这种解决方案计算这些衍生物只会产生大约 50% extra time 来计算单个3D Perlin噪声样本 .

    有限差异至少需要300％的额外时间（做额外的3个样本）或600％（为中心差异做6个样本） .

    因此，该解决方案在性能方面更好，并且还应该在数值上更稳定 .

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