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matlab与真实的符号整合给出了一个复杂的答案

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我希望得到Matlab中以下积分的解析（封闭形式）解决方案 . 但是，Matlab给出了一个实部和虚部的答案 . 如何通过“真实”部分来获得答案 . 这是完整的代码 .

close all;
clear all;
clc;

syms t real;
syms thetak real;
syms sik real;
syms tbar real;
syms sjk real;

expr = exp(-thetak*((t-sik)^2 + (t-sjk)^2));
Bijk_raw = int(expr,t,0,1);
Bijk = simplify(collect(expand(Bijk_raw)));
fprintf('Bijk is as follows...\n');
pretty(Bijk);
matlab symbolic-math

2 回答

  • 2

    你得到的答案（如果你有类似我的Matlab版本），我在这里重现：

    /               /                     2 \ 
  |  1/2   1/2    |   thetak (sik - sjk)  | 
- | 2    pi    exp| - ------------------- | 
  \               \            2          / 
 /    /  1/2          1/2                 \ 
 |    | 2    (-thetak)    (sik i + sjk i) | 
 | erf| --------------------------------- | i - 
 \    \                 2                 / 

    /  1/2          1/2                       \   \ \ 
    | 2    (-thetak)    (sik i + sjk i - 2 i) |   | | 
 erf| --------------------------------------- | i | | / 
    \                    2                    /   / / 
             1/2 
 (4 (-thetak)   )

    给人的印象是你到处都有复杂的数字 .

    但事实上，由于（-thetak）^（1/2），这是一种错误的印象 .

    实际上，取负数的平方根将产生“i”，而“i”又“杀死”与其“接触”的其他“i” . 由于可以找到（-thetak）^（1/2）这一事实，这种取消将发生在不同的地方：

    1）在erf表达式和

    2）作为共同点（最后一行） .

    验证规则i ^ 2 = -1适用于任何地方，没有机会生存任何“我”......

    最后给出（我已设置thetak = s ^ 2，其中s> 0）：

    /               /                      \ 
  |  1/2   1/2    |   s^2 (sik - sjk)^2   |   
- | 2    pi    exp| - ------------------- | 
  \               \            2          / 
 /    /  1/2                   \ 
 |    | 2    s    (sik  + sjk ) | 
 | erf| ----------------------- |  - 
 \    \           2            / 

    /  1/2                          \   \ \ 
    | 2    s   (sik  + sjk  - 2 )   |   | | 
 erf| ----------------------------- |   | |   /   (4 s)
    \             2                 /   / /

    编辑：你可能已经逃脱了整合 . 我的想法是在所谓的“规范形式”下转换$ exp（-thetak *（（t-sik）^ 2（t-sjk）^ 2））$中的二次方，在你的情况下是：$ exp（ -thetak *（（（tA）^ 2 B））/ C）; $其中$ A，B，C $可以表示为sik和sjk的形式（例如$ A =（sik sjk）/ 2 $）;通过这种方式，设置$ T = t-A $，您将被带回具有公式的经典高斯积分：

    $$ \ frac {2} / {\ sqrt {\ pi}} \ int_a ^ b exp（-t ^ 2} dt）（erf（b） - erf（a））$$

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  • 1

    你得到了什么（取决于一些常数因素）的形式

    1i * (c * erf(1i * a) - erf(c * 1i * (a - 2)))

    这包括表格的两个术语

    - 1i * erf(1i * x)

    这也称为假想误差函数 erfi() . 事实证明

    erfi(x) = - 1i * erf(1i * x) = 2/sqrt(pi) * integral(@(t)exp(t.^2),0,x)

    因此，对于 x 的实际值，您的表达式实际上是真实的，如果 thetak >= 0 和 sik 和 sjk 是实数，则情况就是如此 .

    你开始使用的积分可以减少到 exp(-t^2) 的积分（使用一些仿射变换），这个着名的没有"closed form"，但它通常写成

    erf(x) = 2/sqrt(pi) * integral(@(t)exp(-t.^2),0,x)

    我强烈建议您阅读error function上的维基百科文章 .

    此外，我建议使用比MATLAB符号工具箱更友好的CAS . 我想推荐的一个免费和开源CAS是Maxima .

    （由于SO上缺少LaTeX，因此全部用MATLAB表示法编写 . ）

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