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如何解决Mathematica中的双积分？

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我是Mathematica的新手，我正在努力解决以下问题 .

  • 我有一个 Z = aZ^3 + bZ^2 + a + b 形式的立方方程 . 我想要做的第一件事是获得一个函数，通过分析解决Z，并选择最小的正根，作为a和b的函数 .

我认为，为了获得我可以使用的根：

Z = Solve[z == az^3 + bz^2 + a + b, z];

看起来我并没有得到根源，正如我所期望的那样使用一般的三次方程解公式 .

  • 我想将 Z 的最小正根与 a 和 b （再次，最好是分析地）从0到1整合为 a ，将 a 整合为 b 为1 .

我试过了

Y = Integrate[Z, {a, 0, 1}, {b, a, 1}];

并且似乎没有给出任何公式或数值，但只返回一个积分 . （请注意，我甚至不确定如何选择最小的正根，但我正在玩Mathematica试图找出它 . ）

关于如何做到这一点的任何想法？

wolfram-mathematica

2 回答

  • 0

    a 或 b 和 z 之间的空格非常重要 . 你可以通过以下方式获得根源：

    sol = z /. Solve[z == a z^3 + b z^2 + a + b, z]

    但是，你确定这个表达式有你想象的解决方案吗？对于 a=0.5 和 b=0.5 ，唯一真正的根是负数 .

    sol /. {a->0.5, b->0.5}
{-2.26953,0.634765-0.691601 I,0.634765+0.691601 I}
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  • 1
    sol = z /. Solve[z == a z^3 + b z^2 + a + b, z];
zz[a0_ /; NumericQ[a0], b0_ /; NumericQ[b0]] := 
        Min[Select[ sol /. {a -> a0, b -> b0} , 
                 Element[#, Reals] && # > 0 & ]]

    当没有解决方案时，这会返回-infinty . 正如sirintinga所说，您的示例集成限制无效 .

    RegionPlot[NumericQ[zz[a, b] ] , {a, -1, .5}, {b, -.5, 1}]

    enter image description here

    但如果你有一个有效的地区，你可以数字整合..

    NIntegrate[zz[a, b], {a, -.5, -.2}, {b, .8, .9}]  ->> 0.0370076

    编辑---

    上面有一个错误选择Reals是扔掉真正的解决方案与无穷小的复杂部分..修复为：..

    zz[a0_ /; NumericQ[a0], b0_ /; NumericQ[b0]] := 
        Min[Select[ Chop[ sol /. {a -> a0, b -> b0} ], 
                 Element[#, Reals] && # > 0 & ]]

    Edit2，如果你没有找到Chop满意的更干净的方法..

    zz[a0_ /; NumericQ[a0], b0_ /; NumericQ[b0]] := 
     Module[{z, a, b}, 
          Min[z /. Solve[ 
             Reduce[(z > 0 && z == a z^3 + b z^2 + a + b /.
                  { a -> a0, b -> b0}), {z}, Reals]]]]
RegionPlot[NumericQ[zz[a, b] ] , {a, -2, 2}, {b, -2, 2}]

    enter image description here

    NIntegrate[zz[a, b], {a, 0, .5}, {b, 0, .5 - a}]  -> 0.0491321
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