我试图了解如何手动计算多元线性回归(OLS)的置信区间 . 我的问题是我不知道如何计算所有单个系数的标准误差 .
对于只有一个自变量的回归,我遵循以下教程:http://stattrek.com/regression/slope-confidence-interval.aspx . 本教程提供以下公式:
事实证明,该公式有效 . 但是,我并没有完全理解这个公式 . 例如,为什么(-2)位于公式的顶部 . 为了验证正确性,我编写了以下已经显示标准错误的代码:
x<-1:50
y<-c(x[1:48]+rnorm(48,0,5),rnorm(2,150,5))
QR <- rq(y~x, tau=0.5)
summary(QR, se='boot')
LM<-lm(y~x)
alligator = data.frame(
lnLength = c(3.78, 3.71, 3.73, 3.78),
lnWeight = c(4.43, 4.38, 4.42, 4.25)
)
alli.mod1 = lm(lnWeight ~ ., data = alligator)
newdata = data.frame(
lnLength = c(3.78, 3.71, 3.73, 3.78)
)
y_predicted = predict(alli.mod1, newdata, interval="predict")[,1]
length_mean = mean(alligator$lnLength)
> summary(alli.mod1)
Call:
lm(formula = lnWeight ~ ., data = alligator)
Residuals:
1 2 3 4
0.08526 -0.02368 0.03316 -0.09474
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 7.5279 5.7561 1.308 0.321
lnLength -0.8421 1.5349 -0.549 0.638
Residual standard error: 0.09462 on 2 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.1308, Adjusted R-squared: -0.3038
F-statistic: 0.301 on 1 and 2 DF, p-value: 0.6383
然后我使用以下r代码手动计算SE(根据上面的公式):
rss = (alligator$lnWeight[1] - y_predicted[1])^2 +
(alligator$lnWeight[2] - y_predicted[2])^2 +
(alligator$lnWeight[3] - y_predicted[3])^2 +
(alligator$lnWeight[4] - y_predicted[4])^2
a = sqrt(rss/(length(y_predicted)-2))
b = sqrt((alligator$lnLength[1] - length_mean)^2 +
(alligator$lnLength[2] - length_mean)^2 +
(alligator$lnLength[3] - length_mean)^2 +
(alligator$lnLength[4] - length_mean)^2)
a/b
1.534912
这导致与摘要的SE(alli.mod1)相同的值 . 所以,我想,当我尝试使用2个变量时,它可能会起作用 . 不幸的是,这导致了错误的答案 . 如下面的代码所示:
alligator = data.frame(
lnLength = c(3.78, 3.71, 3.73, 3.78),
lnColor = c(2.43, 2.59, 2.46, 2.22),
lnWeight = c(4.43, 4.38, 4.42, 4.25)
)
alli.mod1 = lm(lnWeight ~ ., data = alligator)
newdata = data.frame(
lnLength = c(3.78, 3.71, 3.73, 3.78),
lnColor = c(2.43, 2.59, 2.46, 2.22)
)
y_predicted = predict(alli.mod1, newdata, interval="predict")[,1]
length_mean = mean(alligator$lnLength)
color_mean = mean(alligator$lnColor)
rss = (alligator$lnWeight[1] - y_predicted[1])^2 +
(alligator$lnWeight[2] - y_predicted[2])^2 +
(alligator$lnWeight[3] - y_predicted[3])^2 +
(alligator$lnWeight[4] - y_predicted[4])^2
a = sqrt(rss/(length(y_predicted)-2))
b = sqrt((alligator$lnColor[1] - color_mean)^2 +
(alligator$lnColor[2] - color_mean)^2 +
(alligator$lnColor[3] - color_mean)^2 +
(alligator$lnColor[4] - color_mean)^2)
b1 = sqrt((alligator$lnLength[1] - length_mean)^2 +
(alligator$lnLength[2] - length_mean)^2 +
(alligator$lnLength[3] - length_mean)^2 +
(alligator$lnLength[4] - length_mean)^2)
> summary(alli.mod1)
Call:
lm(formula = lnWeight ~ ., data = alligator)
Residuals:
1 2 3 4
0.006725 -0.041534 0.058147 -0.023338
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -3.5746 8.8650 -0.403 0.756
lnLength 1.6569 2.1006 0.789 0.575
lnColor 0.7140 0.4877 1.464 0.381
Residual standard error: 0.07547 on 1 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.7235, Adjusted R-squared: 0.1705
F-statistic: 1.308 on 2 and 1 DF, p-value: 0.5258
> a/b
1
0.2009918
> a/b1
1
0.8657274
我可以遵循一般方法来计算标准误差吗?
1 回答
我会建议一些关于OLS的一般性阅读,包括多元回归 . 有几个免费提供的信息来源;一个起点可能是Penn State's STAT 501 website . 您可以在麻省理工学院开放课件的these slides幻灯片8和9中找到OLSβ标准误差公式的推导 .
基本上,标准误差是β中方差的平方根 . 正如您在我链接的幻灯片中所看到的,系数方差 - 协方差矩阵的公式是σ2(X'X)-1,其中σ2是误差项的方差 . 然后每个βj的方差是该矩阵的第j个对角线 . 由于我们不知道真正的σ2,我们如上所述估计它 - 我们取平方误差之和的平方根除以n - p,其中p是解释变量的数量(包括/截距) ) - 在简单的回归中p = 2.然而,在简单回归的情况下,(X'X)-1的对角线可以通过你的公式的分母找到,这得胜了't be the case in multiple regression; you' ll需要做的矩阵代数 . 幸运的是,这在R中很容易: