3D曲线拟合-Java 学习之路

我有 a,b 点的离散规则网格及其相应的 c 值，我进一步插值得到一条平滑的曲线 . 现在从插值数据，我还想创建一个曲线拟合的多项式方程 . 如何在多项式中拟合三维图？

我试着在MATLAB中这样做 . 我在MATLAB（r2010a）中使用了Surface拟合工具箱来曲线拟合三维数据 . 但是，如何在MATLAB / MAPLE或任何其他软件中找到适合一组数据的公式以获得最佳效果 . 有什么建议？最有用的还有一些真实的代码示例，可以在Web上查看PDF文件等 .

这只是我数据的一小部分 .

a = [ 0.001 .. 0.011];

b = [1, .. 10];

c = [ -.304860225, .. .379710865];

提前致谢 .

3 回答

要将曲线拟合到一组点上，我们可以使用ordinary least-squares回归 . MathWorks有一个solution page描述了这个过程 .

举个例子，让我们从一些随机数据开始：

% some 3d points
data = mvnrnd([0 0 0], [1 -0.5 0.8; -0.5 1.1 0; 0.8 0 1], 50);

正如@BasSwinckels所示，通过构造所需的design matrix，您可以使用mldivide或pinv来表示为 Ax=b Ax=b ：

% best-fit plane
C = [data(:,1) data(:,2) ones(size(data,1),1)] \ data(:,3);    % coefficients

% evaluate it on a regular grid covering the domain of the data
[xx,yy] = meshgrid(-3:.5:3, -3:.5:3);
zz = C(1)*xx + C(2)*yy + C(3);

% or expressed using matrix/vector product
%zz = reshape([xx(:) yy(:) ones(numel(xx),1)] * C, size(xx));

接下来我们可视化结果：

% plot points and surface
figure('Renderer','opengl')
line(data(:,1), data(:,2), data(:,3), 'LineStyle','none', ...
    'Marker','.', 'MarkerSize',25, 'Color','r')
surface(xx, yy, zz, ...
    'FaceColor','interp', 'EdgeColor','b', 'FaceAlpha',0.2)
grid on; axis tight equal;
view(9,9);
xlabel x; ylabel y; zlabel z;
colormap(cool(64))

1st_order_polynomial

如上所述，我们可以通过向自变量矩阵（ Ax=b 中的 A ）添加更多项来获得更高阶的多项式拟合 .

假设我们想要使用常数，线性，相互作用和平方项（1，x，y，xy，x ^ 2，y ^ 2）拟合二次模型 . 我们可以手动执行此操作：

% best-fit quadratic curve
C = [ones(50,1) data(:,1:2) prod(data(:,1:2),2) data(:,1:2).^2] \ data(:,3);
zz = [ones(numel(xx),1) xx(:) yy(:) xx(:).*yy(:) xx(:).^2 yy(:).^2] * C;
zz = reshape(zz, size(xx));

统计工具箱中还有一个帮助函数x2fx，它有助于为几个模型订单构建设计矩阵：

C = x2fx(data(:,1:2), 'quadratic') \ data(:,3);
zz = x2fx([xx(:) yy(:)], 'quadratic') * C;
zz = reshape(zz, size(xx));

最后，John D'Errico在文件交换中有一个很好的函数polyfitn，允许您指定所涉及的各种多项式阶数和术语：

model = polyfitn(data(:,1:2), data(:,3), 2);
zz = polyvaln(model, [xx(:) yy(:)]);
zz = reshape(zz, size(xx));

2nd_order_polynomial

回复于 2024-04-27T11:06:59+08:00

文件交换可能有一些更好的功能，但手动执行的一种方法是：

x = a(:); %make column vectors
y = b(:);
z = c(:);

%first order fit
M = [ones(size(x)), x, y];
k1 = M\z; 
%least square solution of z = M * k1, so z = k1(1) + k1(2) * x + k1(3) * y

同样，您可以进行二阶拟合：

%second order fit
M = [ones(size(x)), x, y, x.^2, x.*y, y.^2];
k2 = M\z;

这似乎对您提供的有限数据集有数值问题 . 输入 help mldivide 了解更多详情 .

要在某个常规网格上进行插值，您可以这样做：

ngrid = 20;
[A,B] = meshgrid(linspace(min(a), max(a), ngrid), ...
                 linspace(min(b), max(b), ngrid));
M = [ones(numel(A),1), A(:), B(:), A(:).^2, A(:).*B(:), B(:).^2];
C2_fit = reshape(M * k2, size(A)); % = k2(1) + k2(2)*A + k2(3)*B + k2(4)*A.^2 + ...

%plot to compare fit with original data
surfl(A,B,C2_fit);shading flat;colormap gray
hold on
plot3(a,b,c, '.r')

可以使用下面的TryHard给出的公式来完成三阶拟合，但是当订单增加时，公式很快变得乏味 . 如果必须多次执行此操作，最好编写一个可以构造 x 给定 x ， y 和 order 的函数 .

回复于 2024-04-27T11:06:59+08:00

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这听起来像是一个哲学问题，而不是特定的实现，特别是位 - "how does one find a formula that fits a set of data to the best advantage?"在我的经验中，你必须根据你想要达到的目标做出选择 .

什么为您定义“最佳”？对于数据拟合问题，您可以继续添加越来越多的多项式系数并获得更好的R ^ 2值......但最终会“过度拟合”数据 . 高阶多项式的缺点是样本数据范围之外的行为，你已经习惯了它适合你的响应面 - 它可以在一些狂野的方向快速消失，这可能不适合你想要模拟的任何东西 .

您是否了解了您所适合的系统/数据的物理行为？这可以用作用于创建数学模型的方程组的基础 . 我的建议是使用你可以逃脱的最经济（简单）的模型 .

回复于 2024-04-27T11:06:59+08:00

3D曲线拟合

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