我必须对ODE系统进行数值求解，其形式如下：
du_j/dt = f_1(u_j, v_j, t) + g_1(t)v_(j-1) + h_1(t)v_(j+1),
dv_j/dt = f_2(u_j, v_j, t) + g_2(t)u_(j-1) + h_2(t)u_(j+1),
其中 u_j(t) 和 v_j(t) 是复数值标量函数的时间 t ， f_i 和 g_i 被赋予函数， j = -N,..N . 这是一个初始值问题，任务是在某个时间找到解决方案 T .
如果 g_i(t) = h_i(t) = 0 ，那么 j 的不同值的等式可以独立求解 . 在这种情况下，我借助于四阶Runge-Kutta方法获得了稳定和精确的解 . 但是，一旦我打开耦合，结果就时间网格步骤和函数的显式形式变得非常不稳定 g_i ， h_i .
我想尝试使用隐式Runge-Kutta方案是合理的，在这种情况下这可能是稳定的，但如果我这样做，我将不得不评估一个巨大的矩阵 4*N*c 的倒数，其中 c 依赖于每个步骤的方法顺序（例如，高斯 - 勒让德方法的 c = 3 ） . 当然，矩阵将主要包含零并具有块三对角形式，但它似乎仍然非常耗时 .
所以我有两个问题：
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是否有一个稳定的显式方法，即使耦合函数
g_i和h_i（非常）很大时也能正常工作？ -
如果隐式方法确实是一个很好的解决方案，那么块三对角矩阵的反转最快的方法是什么？目前我只是执行一个简单的高斯方法，避免由于矩阵的特定结构而产生的冗余操作 .
可能对我们有帮助的其他信息和细节：
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我使用Fortran 95 .
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我目前正在考虑
g_1(t) = h_1(t) = g_2(t) = h_2(t) = -iAF(t)sin(omega*t)，其中i是虚数单位，A和omega是常数，而F(t)是一个平缓的包络，首先是0到1，然后是1到0，所以F(0) = F(T) = 0. -
最初
u_j = v_j = 0除非j = 0. 绝对值j的函数u_j和v_j对于所有t都非常小，因此初始峰值不会达到"boundaries" .
1 回答
要1）如果你的函数很大，就没有稳定的显式方法 . 这是因为显式（Runge-Kutta）方法的稳定性区域是紧凑的 .
要2）如果您的矩阵大于100x100，您可以使用此方法：Inverses of Block Tridiagonal Matrices and Rounding Errors .