我刚刚开始学习Idris,我认为一个很好的小项目开始将实现有限序列作为2-3个手指树 . 树中的每个内部节点都需要在运行时进行注释,并在其下面存储元素的总数,以便支持快速拆分和索引 . 此大小信息也需要在编译时进行管理,以便(最终)证明使用适当的索引进行拆分并使用另一个序列压缩序列是总操作 .
我可以想到两种方法来解决这个问题:
-
我目前正在做的事情,编写了必要代码总数的一小部分:完全处理类型中的大小,然后使用类似
proof {intros; exact s;}
的东西来获取它们 . 我不知道这可能产生的可怕效率后果是什么 . 在我的脑海中潜力:a)每个叶节点不必要地存储大小 . b)我认为这不太可能,但如果它坚持从下往上计算尺寸而不是从上到下懒惰,那将是非常糟糕的 . -
在每个节点构造函数中包含显式大小字段,以及大小字段中的数字与系统类型所需大小匹配的证明 . 这种方法似乎非常尴尬 . 从好的方面来说,我应该可以确定类型级别的数字和相等的证据会被删除,在运行时每个内部节点只留下一个数字 .
哪一个,如果有的话,是正确的方法?
当前代码
请随意提供样式提示,也许可以解释如何内联大小代码 . 我只能弄清楚交互式做什么,但是对于这些简单的事情,在底部有证据似乎有点奇怪 .
data Tree23 : Nat -> Nat -> Type -> Type where
Elem : a -> Tree23 0 1 a
Node2 : Lazy (Tree23 d s1 a) -> Lazy (Tree23 d s2 a) ->
Tree23 (S d) (s1 + s2) a
Node3 : Lazy (Tree23 d s1 a) -> Lazy (Tree23 d s2 a) -> Lazy (Tree23 d s3 a) ->
Tree23 (S d) (s1 + s2 + s3) a
size23 : Tree23 d s a -> Nat
size23 t = ?size23RHS
data Digit : Nat -> Nat -> Type -> Type where
One : Lazy (Tree23 d s a) -> Digit d s a
Two : Lazy (Tree23 d s1 a) -> Lazy (Tree23 d s2 a) -> Digit d (s1+s2) a
Three : Lazy (Tree23 d s1 a) -> Lazy (Tree23 d s2 a) ->
Lazy (Tree23 d s3 a) -> Digit d (s1+s2+s3) a
Four : Lazy (Tree23 d s1 a) -> Lazy (Tree23 d s2 a) ->
Lazy (Tree23 d s3 a) -> Lazy (Tree23 d s4 a) -> Digit d (s1+s2+s3+s4) a
sizeDig : Digit d s a -> Nat
sizeDig t = ?sizeDigRHS
data FingerTree : Nat -> Nat -> Type -> Type where
Empty : FingerTree d 0 a
Single : Tree23 d s a -> FingerTree d s a
Deep : Digit d spr a -> Lazy (FingerTree (S d) sm a) -> Digit d ssf a ->
FingerTree d (spr + sm + ssf) a
data Seq' : Nat -> Type -> Type where
MkSeq' : FingerTree 0 n a -> Seq' n a
Seq : Type -> Type
Seq a = (n ** Seq' n a)
---------- Proofs ----------
try.sizeDigRHS = proof
intros
exact s
try.size23RHS = proof
intros
exact s
编辑
我探索过的另一个选择是尝试将数据结构与其有效性分开 . 这导致以下结果:
data Tree23 : Nat -> Type -> Type where
Elem : a -> Tree23 0 a
Node2 : Nat -> Lazy (Tree23 d a) -> Lazy (Tree23 d a) ->
Tree23 (S d) a
Node3 : Nat -> Lazy (Tree23 d a) -> Lazy (Tree23 d a) -> Lazy (Tree23 d a) ->
Tree23 (S d) a
size23 : Tree23 d a -> Nat
size23 (Elem x) = 1
size23 (Node2 s _ _) = s
size23 (Node3 s _ _ _) = s
data Valid23 : Tree23 d a -> Type where
ElemValid : Valid23 (Elem x)
Node2Valid : Valid23 x -> Valid23 y -> Valid23 (Node2 (size23 x + size23 y) x y)
Node3Valid : Valid23 x -> Valid23 y -> Valid23 z
-> Valid23 (Node3 (size23 x + size23 y + size23 z) x y z)
data Digit : Nat -> Type -> Type where
One : Lazy (Tree23 d a) -> Digit d a
Two : Lazy (Tree23 d a) -> Lazy (Tree23 d a) -> Digit d a
Three : Lazy (Tree23 d a) -> Lazy (Tree23 d a) ->
Lazy (Tree23 d a) -> Digit d a
Four : Lazy (Tree23 d a) -> Lazy (Tree23 d a) ->
Lazy (Tree23 d a) -> Lazy (Tree23 d a) -> Digit d a
data ValidDig : Digit d a -> Type where
OneValid : Valid23 x -> ValidDig (One x)
TwoValid : Valid23 x -> Valid23 y -> ValidDig (Two x y)
ThreeValid : Valid23 x -> Valid23 y -> Valid23 z -> ValidDig (Three x y z)
FourValid : Valid23 x -> Valid23 y -> Valid23 z -> Valid23 w -> ValidDig (Four x y z w)
sizeDig : Digit d a -> Nat
sizeDig (One x) = size23 x
sizeDig (Two x y) = size23 x + size23 y
sizeDig (Three x y z) = size23 x + size23 y + size23 z
sizeDig (Four x y z w) = (size23 x + size23 y) + (size23 z + size23 w)
data FingerTree : Nat -> Type -> Type where
Empty : FingerTree d a
Single : Tree23 d a -> FingerTree d a
Deep : Nat -> Digit d a -> Lazy (FingerTree (S d) a) -> Digit d a ->
FingerTree d a
sizeFT : FingerTree d a -> Nat
sizeFT Empty = 0
sizeFT (Single x) = size23 x
sizeFT (Deep k x y z) = k
data ValidFT : FingerTree d a -> Type where
ValidEmpty : ValidFT Empty
ValidSingle : Valid23 x -> ValidFT (Single x)
ValidDeep : ValidDig pr -> ValidFT m -> ValidDig sf ->
ValidFT (Deep (sizeDig pr + sizeFT m + sizeDig sf) pr m sf)
record Seq : Type -> Type where
MkSeq : FingerTree 0 a -> Seq a
data ValidSeq : Seq a -> Type where
MkValidSeq : ValidFT t -> ValidSeq (MkSeq t)
然后每个函数都附有(单独)证明其有效性 .
我有点像这种方法将“代码”与“证据”分开的方式,但我遇到了一些问题:
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虽然“代码”变得更容易,但证明似乎更难以构建 . 我想其中很大一部分可能是因为我不熟悉系统 .
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我实际上并没有接近我将编写此代码的点,但索引,拆分和压缩函数都必须坚持获得其输入有效性的证明 . 对于某些函数来说,只使用序列似乎有点奇怪,而其他函数则坚持使用证据,但也许这只是我 .
1 回答
你的问题可以简化为类似的类型
并想写
这很容易做到,因为隐式量化的参数(在这种情况下为
n
)作为隐式参数传递给size
!所以size
的上述类型与之相同这意味着它可以定义为