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机器epsilon的使用是否适合浮点相等测试？

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这是测试浮点值相等的后续行动：“精度”常量是否有标准名称？ Double.Epsilon有一个非常相似的问题，即大于，小于，小于或等于，大于或等于 .

众所周知，对两个浮点值x和y的相等测试看起来应该更像这样（而不是简单的=）：

abs（x - y）<epsilon，其中epsilon是一个非常小的值 .

How to choose a value for epsilon?

显然最好选择epsilon作为尽可能小的值，以获得相等检查的最高精度 .

例如，.NET框架提供了一个常量 System.Double.Epsilon （= 4.94066×10-324），它表示大于零的最小正 System.Double 值 .

但是，事实证明这个特定值不能可靠地用作epsilon，因为：

0 System.Double.Epsilon≠0 1 System.Double.Epsilon = 1（！）

这是，如果我理解正确，因为该常数小于machine epsilon .

→这是对的吗？

→这是否也意味着我可以可靠地使用epsilon：= machine epsilon进行相等测试？

删除了这两个问题，因为它们已经被上面链接的第二个SO问题充分回答了 .

链接到维基百科的文章说，对于64位浮点数（即许多语言中的 double 类型），机器epsilon等于：

2-53，或约 . 0.000000000000000111（小数点后15个零的数字）

→ Does it follow from this that all 64-bit floating point values are guaranteed to be accurate to 14 (if not 15) digits?

language-agnostic floating-point epsilon precision

4 回答

  • 9

    如何选择epsilon的值？

    Short Answer: 您需要一个适合您应用需求的小值 .

    Long Answer: 没有人能够知道您的应用程序执行了哪些计算以及您希望结果如何 accurate . 由于舍入错误总结机器epsilon几乎所有时间都太大，所以你必须选择自己的值 . 根据您的需要，0.01是足够的，或者可能是0.00000000000001或更少 .

    问题是， do you really want/need to do equality tests on floating point values ？也许你应该重新设计你的算法 .

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  • 3

    在过去，当我不得不使用epsilon值时，它比机器epsilon值大得多 .

    虽然它是32位双精度（而不是64位双精度），但我们发现 our particular application 中的大多数（如果不是全部）计算值需要10-6的epsilon值 .

    您选择的epsilon值取决于您的数字的比例 . 如果您正在处理 very large （10 10说）那么您可能需要更大的epsilon值，因为您的有效数字不会延伸到小数部分（如果有的话） . 如果你正在处理 very small （10-10说）那么显然你需要一个比这个小的epsilon值 .

    您需要进行一些实验，执行计算并检查输出值之间的差异 . 只有当您知道潜在答案的范围时，您才能决定合适的值 for your application .

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  • 5

    可悲的事实是： There is no appropriate epsilon for floating-point comparisons. 如果你不想遇到严重的错误，请使用另一种方法进行浮点相等测试 .

    近似浮点比较是一个非常棘手的领域，并且 abs(x - y) < eps 方法仅适用于非常有限的值范围，主要是因为绝对差异没有考虑比较值的大小，而且还由于显着的数字取消在使用不同指数减去两个浮点值时发生 .

    有更好的方法，使用相对差异或ULP，但它们有自己的缺点和陷阱 . 阅读Bruce Dawson的优秀文章Comparing Floating Point Numbers, 2012 Edition，了解如何进行棘手的浮点比较 - 对于任何进行浮点编程的人都必须阅读恕我直言！我敢肯定，由于天真的浮点比较，我花了数千年的时间来寻找细微的错误 .

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  • 2

    关于什么是正确的程序，我也有疑问 . 不过我认为应该这样做：

    abs(x - y) <= 0.5 * eps * max(abs(x), abs(y))

    代替：

    abs(x - y) < eps

    造成这种情况的原因来自机器epsilon的定义 . 使用python代码：

    import numpy as np
real = np.float64
eps = np.finfo(real).eps

## Let's get the machine epsilon
x, dx = real(1), real(1)
while x+dx != x: dx/= real(2) ;

print "eps = %e  dx = %e  eps*x/2 = %e" % (eps, dx, eps*x/real(2))

    给出了： eps = 2.220446e-16 dx = 1.110223e-16 eps*x/2 = 1.110223e-16

    ## Now for x=16
x, dx = real(16), real(1)
while x+dx != x: dx/= real(2) ;

print "eps = %e  dx = %e  eps*x/2 = %e" % (eps, dx, eps*x/real(2))

    现在给出： eps = 2.220446e-16 dx = 1.776357e-15 eps*x/2 = 1.776357e-15

    ## For x not equal to 2**n
x, dx = real(36), real(1)
while x+dx != x: dx/= real(2) ;

print "eps = %e  dx = %e  eps*x/2 = %e" % (eps, dx, eps*x/real(2))

    返回： eps = 2.220446e-16 dx = 3.552714e-15 eps*x/2 = 3.996803e-15

    然而，尽管dx和eps * x / 2之间存在差异，但我们看到 dx <= eps*x/2 ，因此它用于相等测试的目的，在测试数值过程中的收敛时检查公差等 .

    这类似于：www.ibiblio.org/pub/languages/fortran/ch1-8.html#02，但是如果有人知道更好的程序或者这里的东西是不正确的，请说 .

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