如何在MATLAB中获得该方程的所有解？-Java 学习之路

我想解决以下等式：tan（x）= 1 / x

我做了什么：

syms x
eq = tan(x) == 1/x;
sol = solve(eq,x)

但这只给出了解决方案的一个数值近似 . 之后我读到了以下内容：

[sol, params, conds] = solve(eq, x, 'ReturnConditions', true)

但这告诉我它无法找到明确的解决方案 .

如何在某个给定范围内找到该方程的数值解？

3 回答

要找到某个范围内函数的数值解，可以像这样使用fzero：

fun = @(x)x*tan(x)-1; % Multiplied by x so fzero has no issue evaluating it at x=0.
range = [0 pi/2];
sol = fzero(fun,range);

以上只会返回一个解决方案（ 0.8603 ） . 如果您需要其他解决方案，则必须多次调用 fzero . 这可以在例如循环中完成：

fun = @(x)tan(x)-1/x;

RANGE_START = 0;
RANGE_END = 3*pi;
RANGE_STEP = pi/2;

intervals = repelem(RANGE_START:RANGE_STEP:RANGE_END,2);
intervals = reshape(intervals(2:end-1),2,[]).';

sol = NaN(size(intervals,1),1);

for ind1 = 1:numel(sol)
  sol(ind1) = fzero(fun, mean(intervals(ind1,:)));
end

sol = sol(~isnan(sol)); % In case you specified more intervals than solutions.

这使：

[0.86033358901938;
 1.57079632679490; % Wrong
 3.42561845948173;
 4.71238898038469; % Wrong
 6.43729817917195; 
 7.85398163397449] % Wrong

注意：

该函数是对称的，它的根也是对称的 . 这意味着您可以仅在正间隔（例如）上求解并获得负根"for free" .
sol 中的每个其他条目都是错误的，因为这是我们渐近不连续的地方（ tan 从 +Inf 过渡到 -Inf ），这被MATLAB错误地识别为解决方案 . 所以你可以忽略它们（即 sol = sol(1:2:end); .

回复于 2024-05-09T02:26:51+08:00

我从来不喜欢“盲目地”使用求解器，也就是说，没有某种合适的初始值选择方案 . 根据我的经验，盲目做事时你会发现的 Value 观也是没有背景的 . 意思是，你经常会错过解决方案，认为某些东西是解决方案，而实际上解算器爆炸了，等等 .

对于这种特殊情况，重要的是要认识到 fzero 使用数值导数来找到越来越好的近似值 . 但是， f(x) = x · tan(x) - 1 的衍生物变得越来越难以准确计算以增加 x ：

enter image description here

如您所见， x 越大， f(x) 越接近垂直线; fzero 会简直爆炸！因此，在进入 fzero 之前，必须尽可能接近解决方案 .

所以，这是一种获得 good 初始值的方法 .

考虑这个功能

f(x) = x · tan(x) - 1

知道 tan(x) 有Taylor expansion：

tan(x) ≈ x + (1/3)·x³ + (2/15)·x⁵ + (7/315)·x⁷ + ...

我们可以使用它来近似函数 f(x) . 在第二学期结束后截断，我们可以写：

f(x) ≈ x · (x + (1/3)·x³) - 1

现在，要实现的关键是 tan(x) 重复周期 π . 因此，考虑一系列功能是最有用的：

fₙ(x) ≈ x · ( (x - n·π) + (1/3)·(x - n·π)³) - 1

对几个倍数进行评估并收集术语可得到以下推广：

f₀(x) = x⁴/3 - 0π·x³ + ( 0π² + 1)x² - (0π +   (0π³)/3)·x  - 1
f₁(x) = x⁴/3 - 1π·x³ + ( 1π² + 1)x² - (1π +   (1π³)/3)·x  - 1
f₂(x) = x⁴/3 - 2π·x³ + ( 4π² + 1)x² - (2π +   (8π³)/3)·x  - 1
f₃(x) = x⁴/3 - 3π·x³ + ( 9π² + 1)x² - (3π +  (27π³)/3)·x  - 1
f₄(x) = x⁴/3 - 4π·x³ + (16π² + 1)x² - (4π +  (64π³)/3)·x  - 1
                              ⋮
fₙ(x) = x⁴/3 - nπ·x³ + (n²π² + 1)x² - (nπ +  (n³π³)/3)·x  - 1

在一个简单的MATLAB测试中实现所有这些：

% Replace this with the whole number of pi's you want to 
% use as offset 
n = 5;

% The coefficients of the approximating polynomial for this offset
C = @(npi) [1/3
            -npi
            npi^2 + 1
            -npi - npi^3/3
            -1];

% Find the real, positive polynomial roots
R = roots(C(n*pi));
R = R(imag(R)==0);
R = R(R > 0);

% And use these as initial values for fzero()
x_npi = fzero(@(x) x.*tan(x) - 1, R)

在循环中，这可以生成下表：

% Estimate (polynomial)    Solution (fzero)
 0.889543617524132          0.860333589019380    0·π
 3.425836967935954          3.425618459481728    1·π
 6.437309348195653          6.437298179171947    2·π
 9.529336042900365          9.529334405361963    3·π
12.645287627956868         12.645287223856643
15.771285009691695         15.771284874815882    
18.902410011613000         18.902409956860023
22.036496753426441         22.036496727938566    ⋮
25.172446339768143         25.172446326646664    
28.309642861751708         28.309642854452012
31.447714641852869         31.447714637546234
34.586424217960058         34.586424215288922   11·π

如您所见，近似值基本上等于解决方案 . 对应情节：

enter image description here

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将方程乘以 x 和 cos(x) 以避免任何可以具有值 0 的分母，

f(x)=x*sin(x)-cos(x)==0

考虑规范化函数

h(x)=(x*sin(x)-cos(x)) / (abs(x)+1)

对于大 x ，这将越来越接近 sin(x) （或 -sin(x) 为大负 x ） . 实际上，绘制这个已经在视觉上是真实的，直到幅度因子为 x>pi .

对于 [0,pi/2] 中的第一个根，使用第二度 x^2-(1-0.5x^2)==0 的 x=0 处的泰勒逼近得到 x[0]=sqrt(2.0/3) 作为根近似，对于较高的那些采用正弦根 x[n]=n*pi ， n=1,2,3,... 作为牛顿迭代 xnext = x - f(x)/f'(x) 中的初始近似值得到

n        initial              1. Newton         limit of Newton

 0    0.816496580927726    0.863034004302817    0.860333589019380
 1    3.141592653589793    3.336084918413964    3.425618459480901
 2    6.283185307179586    6.403911810682199    6.437298179171945
 3    9.424777960769379    9.512307014150883    9.529334405361963
 4   12.566370614359172   12.635021895208379   12.645287223856643
 5   15.707963267948966   15.764435036320542   15.771284874815882
 6   18.849555921538759   18.897518573777646   18.902409956860023
 7   21.991148575128552   22.032830614521892   22.036496727938566
 8   25.132741228718345   25.169597069842926   25.172446326646664
 9   28.274333882308138   28.307365162331923   28.309642854452012
10   31.415926535897931   31.445852385744583   31.447714637546234
11   34.557519189487721   34.584873343220551   34.586424215288922

回复于 2024-05-09T02:26:51+08:00

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