IEEE-754：“最小”溢出条件

3 回答

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  当结果受格式范围影响时，会发生溢出 . 只要正常舍入将结果保持在有限范围内，就不会发生溢出，因为结果与指数无界时的结果相同 - 在考虑范围之前，结果通过正常舍入减少 . 所以由于范围没有例外 .

  当舍入结果不适合格式的有限范围时，则无法生成有限结果，因此会发生溢出异常并产生无穷大 .

  在IEEE 754中，正常操作实际上是两个步骤：

  • 计算确切的数学结果 .

  • 将精确的数学结果舍入到最接近的可表示值 .

  当且仅当上述结果的大小超过最大可表示的有限值时，IEEE 754定义溢出 . 换句话说，溢出不会仅因为你超过最大可表示值而发生，但只有当你远远超过最大可表示值时，算术在浮点运行的常规方法才起作用 .

  因此，如果从最大的可表示值开始并向其添加一个小数字，结果将简单地舍入到最大可表示值（当使用舍入到最近时） . IEEE 754认为这是正常的 - 所有算术运算都是圆的，并且如果该舍入使结果保持在边界内，则这是正常且无法实现的 . 即使指数范围是无界的，正常的舍入也会产生相同的结果 . 由于这是不受有限范围影响的正常结果，因此没有发生任何异常情况 .

  只有当数学结果如此之大以至于如果我们不受指数限制，舍入将产生下一个更高的数字时，才会发生溢出 . （但是，既然我们已达到指数范围的极限，我们必须返回无穷大 . ）

  IEEE-754基本32位二进制浮点中可表示的最大值为2128-2104 . 此时，可表示数字之间的步长以2104为单位 . 使用舍入到最接近的规则，将少于半步的任何数字2103加到此处将舍入到2128-2104，并且不会发生溢出 . 如果你添加一个大于2103的数字，那么如果指数可以达到那么高，结果将舍入到2128 . 相反，会产生无穷大并发生溢出异常 . （如果你精确地添加了2103，则使用关系规则 . 这个规则说选择具有偶数低位的候选者 . 这会产生2128，所以它也会溢出 . ）

  因此，对于圆到最近，溢出发生在步的中点 . 使用其他舍入规则，溢出发生在不同的点 . 使用round-towards-infinity（向上舍入），将任何正值（即2-149）添加到2128-2104将导致溢出 . 舍入为零时，添加任何小于2104到2128-2104的值都不会溢出 .

  回复于 2024-04-29T16:46:50+08:00
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  这取决于IEEE-754的具体实施吗？

  是，并且当时的舍入模式处于活动状态 .

  考虑 x before max 和 FLT_MAX 之间的步骤 .

  float max = FLT_MAX;
  float before_max = nextafterf(max, 0.0f);
  float delta = max - before_max;
  printf("max:   %- 20a %.*g\n", max, FLT_DECIMAL_DIG, max);
  printf("1st d: % -20a %.*g\n", delta, FLT_DECIMAL_DIG, delta);
  // Typical output
  max:    0x1.fffffep+127     3.40282347e+38
  b4max:  0x1.fffffep+127     3.40282347e+38
  1st d:  0x1p+104            2.02824096e+31
  

  最大的 float 大约是 float 的两倍，同样的最小 float 具有相同的步骤或ULP . 可以想象这个较小的 float ，其所有显式精度位清零，而设置为 FLOAT_MAX .

  float m0 = nextafterf(max/2, max);
  printf("m0:    %- 20a %.*g\n", m0, FLT_DECIMAL_DIG, m0);
  // m0:     0x1p+127            1.70141183e+38
  

  现在将其与 FLT_EPSILON 进行比较，这是从1.0到下一个更大的 float 的最小步骤：

  float eps = FLT_EPSILON;
  printf("epsil: %- 20a %.*g\n", eps, FLT_DECIMAL_DIG, eps);
  // Output
  // epsil:  0x1p-23             1.1920929e-07
  

  请注意比率 delta/m0 是 FLT_EPSILON .

  float r = delta1/m0;
  printf("r:     %- 20a %.*g\n", r, FLT_DECIMAL_DIG, r);
  // r:      0x1p-23             1.1920929e-07
  

  ---

  考虑舍入到最近的典型舍入模式，与偶数的关系 .
  现在让我们尝试将 1/2*delta1 添加到 FLOAT_MAX ，然后尝试添加下一个较小的 float .

  sum = max + delta1/2;
  printf("sum:        % -20a %.*g\n", sum, FLT_DECIMAL_DIG, sum);
  sum = nextafterf(sum, 0);
  printf("sum:        % -20a %.*g\n", sum, FLT_DECIMAL_DIG, sum);
  // sum:         inf                 inf
  // sum:         0x1.fffffep+127     3.40282347e+38
  

  ---

  IEEE-754：“最小”溢出条件

  如果约 FLT_MAX*1/2*1/2*FLOAT_EPSILON ，我们可以看到最小的delta .

  float small = FLT_MAX*0.25f*FLT_EPSILON;
  printf("small: %- 20a %.*g\n", small, FLT_DECIMAL_DIG, small);
  printf("sum:        % -20a %.*g\n", max+small, FLT_DECIMAL_DIG, max+small);
  small = nextafterf(small, max);
  printf("sum:        % -20a %.*g\n", max+small, FLT_DECIMAL_DIG, max+small);
  // sum:         0x1.fffffep+127     3.40282347e+38
  // sum:         inf                 inf
  

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  鉴于 float 的各种可能编码，您的结果可能会有所不同，但这种方法可以确定如何确定导致溢出的最小增量 .

  回复于 2024-04-29T16:46:50+08:00
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  运行这个程序足够长的时间，看看会发生什么：

  float x = 10000000.0f;
  while(1)
  {
      printf("%f\n", x);
      x += 1.0f;
  }
  

  我想它会回答你的问题 .

  回复于 2024-04-29T16:46:50+08:00