如果我有4个点描述贝塞尔曲线P1，P2，P3，P4（其中P1和P4是曲线的终点，P2和P3是曲线的控制点），我怎么能找到描述的点只是这个贝塞尔曲线的一部分？
我发现这个answer正是我要找的，但答案似乎错了 . 如果我在应该代表整个贝塞尔曲线的方程中设置t0 = 0和t1 = 1，则结果点无效 . 它们不等于原始点 .
似乎该解决方案与De Casteljau的算法有关，但我无法理解它是如何工作的 .
是的，De Casteljau's algorithm是要走的路 .
如果你的曲线没有通过t = 1从t = 0正确地参数化，那么你似乎正在使用错误的方程来描述你的曲线 . Wikipedia有正确的公式：
B（t）=（1-t）3 P1 3（1-t）2t P2 3（1-t）t2 P3 t3 P4 [我将维基百科中从零开始的形式的指数调整为一个基于你的问题 . ]
如果设置t = 0，则得到P1，即起点 . 如果设置t = 1，则得到P4，即终点 . 在两者之间，曲线的形状由这些点和两个控制点P2和P3确定 .
设t是您想要剪切曲线的参数 . 假设您只想保留初始部分 . 您从P1到P2绘制三条线，从那里到P3，再从那里到P4 . 这些线中的每条线在其长度的分数t处分割，即分割点之前的线的长度与整个长度相关为t：1 . 现在，您有三个新的点P12到P34 . 再次执行相同操作以获得两个点P123和P234，并再次获得单点P1234 . 最后一点是B（t），即截断曲线的终点 . 起点像以前一样是P1 . 新控制点是P12和P123，就像我们构建它们一样 .
删除曲线的初始部分的方式相同 . 因此，通过两个步骤，您可以修剪曲线的两端 . 您获得了一组新的控制点，这些控制点完全（最多使用您使用的数值精度）描述原始曲线的一段，没有任何近似或类似的参与 .
您可以将上面的所有几何描述转换为代数公式，在完美的世界中，您应该将this answer的结果提供给您引用的问题 .
唉，这似乎不是一个完美的世界 . 在撰写本文时，这些公式仅使用二阶多项式，因此它们无法描述三度曲线上的 endpoints . 正确的公式应如下：
P'1 = u0u0u0 P1（t0u0u0 u0t0u0 u0u0t0）P2（t0t0u0 u0t0t0 t0u0t0）P3 t0t0t0 P4
P'2 = u0u0u1 P1（t0u0u1 u0t0u1 u0u0t1）P2（t0t0u1 u0t0t1 t0u0t1）P3 t0t0t1 P4
P'3 = u0u1u1 P1（t0u1u1 u0t1u1 u0u1t1）P2（t0t1u1 u0t1t1 t0u1t1）P3 t0t1t1 P4
P'4 = u1u1u1 P1（t1u1u1 u1t1u1 u1u1t1）P2（t1t1u1 u1t1t1 t1u1t1）P3 t1t1t1 P4
其中u0 = 1 - t0且u1 = 1 - t1 .
请注意，在带括号的表达式中，至少有一些术语是相同的并且可以组合 . 我没有这样做，因为这里所说的公式会使模式更清晰，我相信 . 您可以单独为x和y方向执行这些计算，以计算新的控制点 .
1 回答
是的，De Casteljau's algorithm是要走的路 .
参数化
如果你的曲线没有通过t = 1从t = 0正确地参数化，那么你似乎正在使用错误的方程来描述你的曲线 . Wikipedia有正确的公式：
如果设置t = 0，则得到P1，即起点 . 如果设置t = 1，则得到P4，即终点 . 在两者之间，曲线的形状由这些点和两个控制点P2和P3确定 .
De Casteljau的算法
设t是您想要剪切曲线的参数 . 假设您只想保留初始部分 . 您从P1到P2绘制三条线，从那里到P3，再从那里到P4 . 这些线中的每条线在其长度的分数t处分割，即分割点之前的线的长度与整个长度相关为t：1 . 现在，您有三个新的点P12到P34 . 再次执行相同操作以获得两个点P123和P234，并再次获得单点P1234 . 最后一点是B（t），即截断曲线的终点 . 起点像以前一样是P1 . 新控制点是P12和P123，就像我们构建它们一样 .
删除曲线的初始部分的方式相同 . 因此，通过两个步骤，您可以修剪曲线的两端 . 您获得了一组新的控制点，这些控制点完全（最多使用您使用的数值精度）描述原始曲线的一段，没有任何近似或类似的参与 .
您可以将上面的所有几何描述转换为代数公式，在完美的世界中，您应该将this answer的结果提供给您引用的问题 .
唉，这似乎不是一个完美的世界 . 在撰写本文时，这些公式仅使用二阶多项式，因此它们无法描述三度曲线上的 endpoints . 正确的公式应如下：
P'1 = u0u0u0 P1（t0u0u0 u0t0u0 u0u0t0）P2（t0t0u0 u0t0t0 t0u0t0）P3 t0t0t0 P4
P'2 = u0u0u1 P1（t0u0u1 u0t0u1 u0u0t1）P2（t0t0u1 u0t0t1 t0u0t1）P3 t0t0t1 P4
P'3 = u0u1u1 P1（t0u1u1 u0t1u1 u0u1t1）P2（t0t1u1 u0t1t1 t0u1t1）P3 t0t1t1 P4
P'4 = u1u1u1 P1（t1u1u1 u1t1u1 u1u1t1）P2（t1t1u1 u1t1t1 t1u1t1）P3 t1t1t1 P4
其中u0 = 1 - t0且u1 = 1 - t1 .
请注意，在带括号的表达式中，至少有一些术语是相同的并且可以组合 . 我没有这样做，因为这里所说的公式会使模式更清晰，我相信 . 您可以单独为x和y方向执行这些计算，以计算新的控制点 .