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计算用于定义二次贝塞尔曲线子部分的参数

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我有一个描述为（startX，startY）到（anchorX，anchorY）并使用控制点（controlX，controlY）的二次贝塞尔曲线 .

我有两个问题：

（1）我想根据x点确定该曲线上的y点 .

（2）然后，在我的贝塞尔曲线上给出一个线段（由我的贝塞尔曲线上的两个中间点定义（startX'，startY'，anchorX'，anchorY'）），我想知道该线段的控制点这样它就会与原始贝塞尔完全重叠 .

为什么？我想要这些信息进行优化 . 我画了许多水平贝塞尔 . 当beziers大于屏幕时，性能会受到影响，因为渲染引擎最终渲染超出了可见范围 . 这个问题的答案将让我只渲染可见的东西 .

algorithm language-agnostic math geometry bezier

2 回答

  • 1

    第1部分

    二次贝塞尔曲线的公式为：

    B(t) = a(1-t)2    + 2bt(1-t)   + ct2
     = a(1-2t+t2) + 2bt - 2bt2 + ct2
     = (a-2b+c)t2+2(b-a)t + a

    其中粗体表示矢量 . 给出 B x（t），我们有：

    x = (ax-2bx+cx)t2+2(bx-ax)t + ax

    其中 v x是 v 的x分量 .

    根据二次方程式，

    -2(bx-ax) ± 2√((bx-ax)2 - ax(ax-2bx+cx))
t = -----------------------------------------
             (2ax(ax-2bx+cx))

     ax-bx ± √(bx2 - axcx)
  = ----------------------
         ax(ax-2bx+cx)

    假设存在一个解，请将其插回到原始方程中，以便在给定的x处得到 B （t）的其他分量 .

    第2部分

    您可以简单地将参数参数的域限制为[0,1]的正确子区间，而不是生成与第一个部分重合的第二条Bezier曲线（我现在感觉不像是处理符号） . 也就是说，使用第1部分为两个不同的x值找到t的值;将这些t值称为i和j . 为t∈[i，j]绘制 B （t） . 等价地，为t∈[0,1]绘制 B （t（j-i）i） .

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  • 13

    t方程是错误的，你需要使用eq（1）

    (1) x = (ax-2bx+cx)t2+2(bx-ax)t + ax

    并使用根的二次方程式求解它（2） .

    -b ± √(b^2 - 4ac)
  (2)  x = -----------------
              2a

    哪里

    a = ax-2bx+cx
b = 2(bx-ax)
c = ax - x
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