120

让我们说你有这个：

P1 = (x=2, y=50)
P2 = (x=9, y=40)
P3 = (x=5, y=20)

假设 P1 是圆的中心点 . 它总是一样的 . 我想要由 P2 和 P3 组成的角度，或者换句话说是 P1 旁边的角度 . 内角是精确的 . 它总是一个锐角，所以小于-90度 .

我想：伙计，这是简单的几何数学 . 但我现在已经找了一个大约6个小时的公式，并且只找到人们谈论复杂的美国宇航局的东西，如arccos和矢量标量产品 . 我的头感觉像在冰箱里 .

一些数学大师认为这是一个简单的问题吗？我不认为编程语言在这里很重要，但对于那些认为它的人来说：java和objective-c . 我需要它，但没有标记它们 .

16 回答

4

如果你的意思是P1是顶点的角度那么使用Law of Cosines应该工作：

arccos（（P122 P132 - P232）/（2 * P12 * P13））

其中P12是从P1到P2的段的长度，由...计算

sqrt（（P1x - P2x）2（P1y - P2y）2）

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如果你认为它是两个向量，一个从点P1到P2，一个从P1到P3，它变得非常简单

所以：
a =（p1.x - p2.x，p1.y - p2.y）
b =（p1.x - p3.x，p1.y - p3.y）

然后，您可以反转点积公式：

获得角度：

请记住

只是意味着：a1 * b1 a2 * b2（这里只有2个尺寸......）

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处理角度计算的最佳方法是使用 atan2(y, x) 给定一个点 x, y 返回该点的角度和 X+ 轴相对于原点 .

鉴于计算是
```
double result = atan2(P3.y - P1.y, P3.x - P1.x) -
                atan2(P2.y - P1.y, P2.x - P1.x);
```
即你基本上将两个点翻译为 -P1 （换句话说，你翻译所有内容，以便 P1 在原点结束），然后你考虑 P3 和 P2 的绝对角度的差异 .

atan2 的优点是表示整圆（您可以在-π和π之间得到任何数字），而使用 acos ，您需要根据符号处理几种情况以计算正确的结果 .

atan2 的唯一奇点是 (0, 0) ...意味着 P2 和 P3 必须与 P1 不同，因为在这种情况下谈论一个角度是没有意义的 .
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让我举一个JavaScript的例子，我已经与之斗争了很多：

/**
 * Calculates the angle (in radians) between two vectors pointing outward from one center
 *
 * @param p0 first point
 * @param p1 second point
 * @param c center point
 */
function find_angle(p0,p1,c) {
    var p0c = Math.sqrt(Math.pow(c.x-p0.x,2)+
                        Math.pow(c.y-p0.y,2)); // p0->c (b)   
    var p1c = Math.sqrt(Math.pow(c.x-p1.x,2)+
                        Math.pow(c.y-p1.y,2)); // p1->c (a)
    var p0p1 = Math.sqrt(Math.pow(p1.x-p0.x,2)+
                         Math.pow(p1.y-p0.y,2)); // p0->p1 (c)
    return Math.acos((p1c*p1c+p0c*p0c-p0p1*p0p1)/(2*p1c*p0c));
}

额外奖励：Example with HTML5-canvas

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0

基本上你有两个向量，一个从P1到P2，另一个从P1到P3 . 所以你需要的是一个计算两个向量之间角度的公式 .

看看here有一个很好的解释和公式 .

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2

如果你认为P1是圆圈的中心，你会觉得太复杂了 . 你有一个简单的三角形，所以law of cosines可以解决你的问题 . 不需要任何极坐标变换或某些 . 假设距离为P1-P2 = A，P2-P3 = B且P3-P1 = C：

角度= arccos（（B ^ 2-A ^ 2-C ^ 2）/ 2AC）

您需要做的就是计算距离A，B和C的长度 . 您可以从点的x坐标和y坐标轻松获得这些距离.Pythagoras' theorem

长度= sqrt（（X2-X1）^ 2（Y2-Y1）^ 2）

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我最近遇到了类似的问题，只是我需要区分正角度和负角度 . 如果这对任何人都有用，我建议我从this mailing list获取有关检测Android触摸事件的旋转的代码片段：

@Override
 public boolean onTouchEvent(MotionEvent e) {
    float x = e.getX();
    float y = e.getY();
    switch (e.getAction()) {
    case MotionEvent.ACTION_MOVE:
       //find an approximate angle between them.

       float dx = x-cx;
       float dy = y-cy;
       double a=Math.atan2(dy,dx);

       float dpx= mPreviousX-cx;
       float dpy= mPreviousY-cy;
       double b=Math.atan2(dpy, dpx);

       double diff  = a-b;
       this.bearing -= Math.toDegrees(diff);
       this.invalidate();
    }
    mPreviousX = x;
    mPreviousY = y;
    return true;
 }

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带解释的非常简单的几何解法

几天前，一个人遇到了同样的问题，不得不坐在数学书上 . 我通过组合和简化一些基本公式解决了这个问题 .

让我们考虑这个数字 -

angle

我们想知道Θ，所以我们需要先找出α和β . 现在，对于任何直线 -

y = m * x + c

设A =（ax，ay），B =（bx，by），O =（ox，oy） . 所以对于OA-线

oy = m1 * ox + c   ⇒ c = oy - m1 * ox   ...(eqn-1)

ay = m1 * ax + c   ⇒ ay = m1 * ax + oy - m1 * ox   [from eqn-1]
                   ⇒ ay = m1 * ax + oy - m1 * ox
                   ⇒ m1 = (ay - oy) / (ax - ox)
                   ⇒ tan α = (ay - oy) / (ax - ox)   [m = slope = tan ϴ]   ...(eqn-2)

以同样的方式，对于线OB-

tan β = (by - oy) / (bx - ox)   ...(eqn-3)

现在，我们需要 ϴ = β - α . 在三角学中，我们有一个公式 -

tan (β-α) = (tan β + tan α) / (1 - tan β * tan α)   ...(eqn-4)

在eqn-4中替换 tan α （来自eqn-2）和 tan b （来自eqn-3）的值，并应用简化后，我们得到 -

tan (β-α) = ( (ax-ox)*(by-oy)+(ay-oy)*(bx-ox) ) / ( (ax-ox)*(bx-ox)-(ay-oy)*(by-oy) )

所以，

ϴ = β-α = tan^(-1) ( ((ax-ox)*(by-oy)+(ay-oy)*(bx-ox)) / ((ax-ox)*(bx-ox)-(ay-oy)*(by-oy)) )

这就对了！

现在，采取以下数字 -

angle

这个C＃或Java方法计算角度（Θ） -

private double calculateAngle(double P1X, double P1Y, double P2X, double P2Y,
            double P3X, double P3Y){

        double numerator = P2Y*(P1X-P3X) + P1Y*(P3X-P2X) + P3Y*(P2X-P1X);
        double denominator = (P2X-P1X)*(P1X-P3X) + (P2Y-P1Y)*(P1Y-P3Y);
        double ratio = numerator/denominator;

        double angleRad = Math.Atan(ratio);
        double angleDeg = (angleRad*180)/Math.PI;

        if(angleDeg<0){
            angleDeg = 180+angleDeg;
        }

        return angleDeg;
    }

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2
在Objective-C中你可以做到这一点
```
float xpoint = (((atan2((newPoint.x - oldPoint.x) , (newPoint.y - oldPoint.y)))*180)/M_PI);
```
或者阅读更多here
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-2

你提到过有角度的角度（-90） . 在许多应用中，角度可能有迹象（正面和负面，见http://en.wikipedia.org/wiki/Angle） . 如果这些点是（例如）P2（1,0），P1（0,0），P3（0,1）那么角度P3-P1-P2通常是正的（PI / 2），而角度P2-P1- P3是否定的 . 使用边长不会区分和 - 所以如果这很重要，你将需要使用向量或函数，如Math.atan2（a，b） .

角度也可以超过2 * PI，虽然这与当前的问题无关，但是我编写自己的Angle类非常重要（同时也要确保度和弧度不会混淆） . 关于angle1是否小于角度2的问题关键取决于如何定义角度 . 确定一行（-1,0）（0,0）（1,0）是否表示为Math.PI或-Math.PI也很重要 .

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my angle demo program

最近，我也有同样的问题...在Delphi中它与Objective-C非常相似 .

procedure TForm1.FormPaint(Sender: TObject);
var ARect: TRect;
    AWidth, AHeight: Integer;
    ABasePoint: TPoint;
    AAngle: Extended;
begin
  FCenter := Point(Width div 2, Height div 2);
  AWidth := Width div 4;
  AHeight := Height div 4;
  ABasePoint := Point(FCenter.X+AWidth, FCenter.Y);
  ARect := Rect(Point(FCenter.X - AWidth, FCenter.Y - AHeight),
    Point(FCenter.X + AWidth, FCenter.Y + AHeight));
  AAngle := ArcTan2(ClickPoint.Y-Center.Y, ClickPoint.X-Center.X) * 180 / pi;
  AngleLabel.Caption := Format('Angle is %5.2f', [AAngle]);
  Canvas.Ellipse(ARect);
  Canvas.MoveTo(FCenter.X, FCenter.Y);
  Canvas.LineTo(FClickPoint.X, FClickPoint.Y);
  Canvas.MoveTo(FCenter.X, FCenter.Y);
  Canvas.LineTo(ABasePoint.X, ABasePoint.Y);
end;

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这是一个C＃方法，可以从一个圆上的点水平方向逆时针返回角度（0-360） .

public static double GetAngle(Point centre, Point point1)
    {
        // Thanks to Dave Hill
        // Turn into a vector (from the origin)
        double x = point1.X - centre.X;
        double y = point1.Y - centre.Y;
        // Dot product u dot v = mag u * mag v * cos theta
        // Therefore theta = cos -1 ((u dot v) / (mag u * mag v))
        // Horizontal v = (1, 0)
        // therefore theta = cos -1 (u.x / mag u)
        // nb, there are 2 possible angles and if u.y is positive then angle is in first quadrant, negative then second quadrant
        double magnitude = Math.Sqrt(x * x + y * y);
        double angle = 0;
        if(magnitude > 0)
            angle = Math.Acos(x / magnitude);

        angle = angle * 180 / Math.PI;
        if (y < 0)
            angle = 360 - angle;

        return angle;
    }

干杯，保罗

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function p(x, y) {return {x,y}}

function normaliseToInteriorAngle(angle) {
	if (angle < 0) {
		angle += (2*Math.PI)
	}
	if (angle > Math.PI) {
		angle = 2*Math.PI - angle
	}
	return angle
}

function angle(p1, center, p2) {
	const transformedP1 = p(p1.x - center.x, p1.y - center.y)
	const transformedP2 = p(p2.x - center.x, p2.y - center.y)

	const angleToP1 = Math.atan2(transformedP1.y, transformedP1.x)
	const angleToP2 = Math.atan2(transformedP2.y, transformedP2.x)

	return normaliseToInteriorAngle(angleToP2 - angleToP1)
}

function toDegrees(radians) {
	return 360 * radians / (2 * Math.PI)
}

console.log(toDegrees(angle(p(-10, 0), p(0, 0), p(0, -10))))

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使用高中数学有一个简单的答案 .

假设你有3分

获得从A点到B点的角度

angle = atan2(A.x - B.x, B.y - A.y)

获得从B点到C点的角度

angle2 = atan2(B.x - C.x, C.y - B.y)
```
Answer = 180 + angle2 - angle
If (answer < 0){
    return answer + 360
}else{
    return answer
}
```
我刚刚在我最近的项目中使用了这个代码，将B更改为P1 ..如果你想要你也可以删除“180”
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6

好吧，其他答案似乎涵盖了所需的一切，所以如果您使用的是JMonkeyEngine，我想添加它：

Vector3f.angleBetween(otherVector)

因为那就是我来这里寻找:)

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Atan2        output in degrees
       PI/2              +90
         |                | 
         |                |    
   PI ---.--- 0   +180 ---.--- 0       
         |                |
         |                |
       -PI/2             +270

public static double CalculateAngleFromHorizontal(double startX, double startY, double endX, double endY)
{
    var atan = Math.Atan2(endY - startY, endX - startX); // Angle in radians
    var angleDegrees = atan * (180 / Math.PI);  // Angle in degrees (can be +/-)
    if (angleDegrees < 0.0)
    {
        angleDegrees = 360.0 + angleDegrees;
    }
    return angleDegrees;
}

// Angle from point2 to point 3 counter clockwise
public static double CalculateAngle0To360(double centerX, double centerY, double x2, double y2, double x3, double y3)
{
    var angle2 = CalculateAngleFromHorizontal(centerX, centerY, x2, y2);
    var angle3 = CalculateAngleFromHorizontal(centerX, centerY, x3, y3);
    return (360.0 + angle3 - angle2)%360;
}

// Smaller angle from point2 to point 3
public static double CalculateAngle0To180(double centerX, double centerY, double x2, double y2, double x3, double y3)
{
    var angle = CalculateAngle0To360(centerX, centerY, x2, y2, x3, y3);
    if (angle > 180.0)
    {
        angle = 360 - angle;
    }
    return angle;
}

}

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带解释的非常简单的几何解法

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