我一直试图将机器数量包括在单位舍入（u）和epsilon（e）以及IEEE 754标准中 . 我的教科书陈述了一些对我来说没有意义的事情 .
根据我的教科书单位结束是：
单精度
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（尾数为23位）：u = 6e-8
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表示双精度（尾数为52位）：u = 2e-16
我一直试图用两种关系推导出这些结果的公式：
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我的教科书说明："In binary arithmetic with rounding we usually have e = 2*u"
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e = 2 ^ -n，n是尾数位的数量
然后，这些组合结果将给出：u = 2 ^ - （n 1），同样n是尾数位的量 . 检查此formule与给定的u结果对于不同的精度：
单个：u = 2 ^ - （23 1）= 5.96e-8，此结果检出 . 对于double：u = 2 ^ - （52 1）= 1.11e-16，此结果不会检出 .
有人可以帮助我为单位舍入找到一个正确的形式，还是指出我一直犯的错误？所有帮助表示赞赏 .
1 回答
这似乎是教科书中的错误 .
IEEE-754基本32位和64位二进制浮点格式的有效位分别为24和53位 . 有时会说有效位数是23位和52位，但这是一个错误 . 这些是用于编码有效数字的主要字段的大小，但是完整的24位有效数字在主有效数字段中用23位编码，在指数字段中用1位编码 . 类似地，完整的53位有效数字在主有效位字段中用52位编码，在指数字段中用1位编码 . （完整有效数的前导位来自指数字段：如果指数字段为零，则前导有效位为0.如果指数字段既不为零也不为全1，则前导有效位为1.如果指数字段是全部，浮点对象是一个特殊值，无论是无穷大还是NaN . ）
当24位有效位数的前导位表示值1时，最低有效位表示值2-23 . 那就是所谓的epsilon . 当实数被舍入到最接近的可表示浮点值时，最大误差是最低有效位的值的一半 . （因为，如果它超过两个数字之间的距离的一半，我们会选择另一个方向的数字，因为它更接近 . ）
对于53位有效数字，最低有效位表示相对于前导位的值2-52，并且当舍入到最接近时的最大误差是该值的一半 . 因此，对于前导位1，最大舍入误差应为2-53，即大约1.11•10-16 . 如果你的书说它是2-16，那就错了 .
脚注
1“重要”是首选术语 . “尾数”是对数的小数部分的旧术语 . 重要性是线性的 . Mantissas是对数的 .