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三维空间中三个三维点的线性插值

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我有三个3D点，如 p1(x1,y1,z1) ， p2(x2,y2,z2) ， p3(x3,y3,z3) . 我还有另外一点，但我只知道 x ， y 这一点的值，如 p4(x4,y4,Z) ，其中 Z 是我想要计算的值 .

我确信 p4(x4,y4) 点是在 p1(x1,y1) ， p2(x2,y2) ， p3(x3,y3) 形成的三角形内部，通过delaunay三角测量方法检查 . 如何计算点 p4 的 Z 值？我喜欢在C编程中实现它 . 实际上我正在尝试在MATLAB中实现 griddata .

谢谢

c++ matlab math linear-algebra linear-interpolation

4 回答

  • 1

    p1 ， p2 ， p3 定义一架飞机 . 您可以通过点和法线来表示它 . 例如， P=p1 ， N=(p2-P) x (p3-P) （即，N = p1p2 和 p1p3 的叉积） .

    现在让p4在同一平面上，它满足平面方程：

    (p4-P) · N = 0  %// dot product
⇒ (x4-x1)*N.x + (y4-y1)*N.y + (z4-z1)*N.z = 0

    重新排列：

    z4 = z1 - ((x4-x1)*N.x + (y4-y1)*N.y)/ N.z

    没有线性系统要解决，你只需要一个交叉产品 .

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  • 6

    您可以在P1P2P3向量的基础上表达P4坐标 .

    x4 = x1 + A * (x2 - x1) + B * (x3 - x1)
y4 = y1 + A * (y2 - y1) + B * (y3 - y1)

    这是易于求解的线性方程组 . 你必须找到A和B系数，然后用它们来计算z坐标

    z4 = z1 + A * (z2 - z1) + B * (z3 - z1)
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  • 0

    这里的数学问题是解决以下方程组

    p1 + a * (p2 - p1) + b * (p3 - p1) = (x4, y4, z4)

    或者等价的

    (x1,y1,z1) + a * (x2-x1, y2-y1, z2-z1) + b * (x3-x1, y3-y1, z3-z1) = (x4, y4, z4)

    对于a，b和z4 .

    要在C / C中解决它，你可以实现高斯算法（参见数字食谱书，它可在线获得），或使用线性代数库，如Eigen或其他 .

    备注：无论点 (x4, y4) 是否位于三角形 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) 内，方法都是相同的 .

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  • 4

    这是为了支持MBo和Konstantin的答案 . 请不要接受这个问题，而是接受其中一个问题 .

    这是您在MATLAB中实现解决方案的方法：

    %// Your known 3 points
p1 = [ 1 10  0]';
p2 = [-1 10 10]';
p3 = [ 0  0 10]';

%// your 4th target point
p4 = [0 5  NaN]';

%// Difference matrix/vector
A = [p2-p1  p3-p1];
b = p4-p1;

%// Compute solution
p4(end) = p1(end) + A(3,:)*(A(1:2,:)\b(1:2));

    现在，在C中，仅包括相关的 eigen 库的事实相当惊人地破坏了可执行文件的大小 . eigen 能够对这个简单的2x2系统完全矫枉过正 .

    所以除非你有大量的其他线性代数要做，否则我不会去求助于 eigen . 它是一个简单的2x2系统，很容易手动解决 .

    只是KISS它;看DanielKO的回答:)

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