混合整数编程IF-THEN与逻辑AND操作

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  首先，这不是线性规划，而是混合整数规划，因为 AND 约束不是线性的，也不是暗示 . 我还假设 a 和 b 都是二进制变量 . 然后，您可以按如下方式重新制定问题：

  x1    >  y2 + m*z1
  y1    >  x2 + m*z2
  a + 1 >= z1 + z2
  a     <= z1
  a     <= z2
  a - b >= 0
  

  这里， m 需要是一些（负）下限，即 m < x1-y2 和 m < y1-x2 . z1 和 z2 都是二进制变量 . 要绕过 < 不等式，您可能需要在前两个约束中添加一些小epsilon：

  x1    >= y2 + (m-eps)*z1 + eps
  y1    >= x2 + (m-eps)*z2 + eps
  

  回复于 2024-05-12T20:44:33+08:00
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  我找到了一个适用于 IF-THEN-ELSE 的配方，无论给出什么问题 . 在答案的后半部分，我正在使用@ mattmilten的答案中描述的 z1, z2 变量来处理 if statement 中的 AND condition

  假设问题是以下规范：

  if α > 0 then β >= 0 else γ >= 0
  

  然后，

  α - z * U_α <= 0          # (1)
  α - (1 - z)(L_α - 1) > 0  # (2)
  β - (1 - z)L_β >= 0       # (3)
  γ - z * L_γ >= 0          # (4)
  

  哪里，

  L_α, L_β, L_γ # are constant lower bounds on α, β, γ (or values smaller than the lowest value they can take) 
  U_α           # is a constant lower bounds on α 
  z             # is a LP variable that can take values {0,1}
  

  如果z == 1

  等式（1）和（4）是冗余的，并强制执行 then condition 或（3）

  如果z == 0

  等式（2）和（3）是冗余的，并且强制执行 else condition 或（4）

  对于这个问题

  我们运行两次，第一次用α=α1，第二次用α=α2 .

  哪里，

  α1 = y2 - x1
  z1 = decision variable for α1 with values {0,1} 
  α2 = y1 - x2
  z2 = decision variable for α2 with values {0,1} 
  
  β # Currently unnecessary for my particular question. 
  γ # Currently unnecessary for my particular question.
  

  所以我们的约束成为：

  α1 - z1 * U_α1 <= 0          # (1-1)
  α1 - (1 - z1)(L_α1 - 1) > 0  # (1-2)
  α2 - z2 * U_α2 <= 0          # (2-1)
  α2 - (1 - z2)(L_α2 - 1) > 0  # (2-2)
  

  如果z1 = 1，则if条件的第一部分为真 . 即 . X1 <= Y2

  如果z2 = 1，则if条件的第二部分为真 . 即 . X2 <= Y1

  现在，使用@ mattmilten的配方来确保两种条件：

  a + 1 >= z1 + z2
  a     <= z1
  a     <= z2
  a - b >= 0
  

  这确保z1和z2都必须> = 1才能使a = 1 . 如果a = 1则b可以是b = 1或b = 0而不违反最后一个条件 .

  如果a = 0，那么我们处于else条件，因此b必须为0 .

  回复于 2024-05-12T20:44:33+08:00